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判定直线与椭圆位置关系的非常规方法 浙江省宁波市北仑中学 （315800） 吴文尧 判定直线与椭圆位置关系的常规方法是把直线方程代入椭圆方程，得到关于的一元二次方程，然后用判别式法求解之；其运算往往比较复杂.本文介绍两种判定直线和椭圆位置关系的非常规方法,并简要介绍这两种方法的应用。 定理1: 设、分别是椭圆的左、右焦点，点P是直角坐标平面中的任意一点，则 （1）点P在椭圆上. （2）点P在椭圆外. （3）点P在椭圆内. 证明:(1)由椭圆的定义直接可得这个结论. (2)1)当点P在椭圆外时: 如图,连结 交椭圆于点M, 则 即成立. 即:点P在椭圆外 (3)1)当点P在椭圆内时: 如图,连结并延长交椭圆于点M, 则 即成立. 即:点P在椭圆内 (2)2)当时: 若点P在椭圆上,则有得矛盾 若点P在椭圆内,则有得矛盾 ∴点P在椭圆外. 即点P在椭圆外. (3)2)同理可得点P在椭圆内. 定理2：设直线上的动点P到椭圆两焦点、的距离和的最小值为,则 （1）直线和椭圆C相切； （2）直线和椭圆C相离； （1）直线和椭圆C相交； 证明: (1)直线和椭圆C相切 直线和椭圆C有且仅有一个公共点 直线上有且仅有一个点在椭圆上,而其它点全在椭圆外 的最小值为 (2) 直线和椭圆C相离 直线上的所有点都在椭圆C的外部 恒成立 (3) 直线和椭圆C相交 直线上至少存在一点P在椭圆C的内部 直线上至少存在一点P使成立 注:容易验证对于焦点在轴上的椭圆,上述结论也成立. 定理3：已知：直线 椭圆 ，则 （1）； （2）； （3）。 证明：作坐标变换： 则在新坐标系中 椭圆C变成曲线的方程为：（已化为单位圆）， 直线l变成直线的方程为， 易见坐标变换前后直线和曲线的位置关系（公共点的个数） 保持不变； 在中，由于圆心到直线的距离 ∴和椭圆C相交和单位圆相交 同理：和椭圆C相切 和椭圆C相离 下面介绍上述定理的初步应用 例1已知:椭圆C以两坐标轴为对称轴，焦点在x轴上，且与两直线均相切，求：椭圆C的方程。 解：设椭圆的方程为： ∵椭圆和直线相切 ∴由定理3可知： 又∵椭圆和直线相切 ∴ 由 解得 ∴椭圆的方程为： 评注:用定理3判定直线 和椭圆的位置关系，通常可以避免一些繁杂的运算. 例2：（2003年全国联赛第一试最后一题）一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且，折叠折片，使圆周上某一点刚好与A重合，这样的每一种折法都留下一条直线折痕，当取遍圆周上所有点时；求所有折痕所在直线上点的集合。 解：如图，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，则折痕MN为线段的垂直平分线，设的中 点为G，P为MN上的任意一点，则 ≥=， 故直线MN上的点到两定点O，A的距离之和的最小值为定值R， 由定理2可知： 直线MN和以O，A为焦点，长轴长为R的椭圆相切 即动直线MN和椭圆相切 ∴所求折痕所在直线上的点集即为上述椭圆的所有切线上的点 故所求点的集合为： 椭圆外（含边界）部分. 1