Chapter4工具变量法..docVIP

两阶段最小二乘法估计量的偏一致性工具变量法两阶段最小二乘法。，称解释变量是内生的。导致解释变量内生性的原因有很多，主要的几个原因包括：模型中忽略了重要的解释变量、变量因果关系的双向性、变量的测量误差等。 模型中出现内生解释变量时，OLS估计量是不一致的。根据OLS估计量： (1.1) 由假定Rank(X)=K，。(1.2) 又由Slustky定理， (1.3) 工具变量 工具变量 y = X?+ u 第i个解释变量xi为内生解释变量。如果存在变量z，z满足如下两个条件： 与u不相关，即cor(z, u) = 0 与x相关，即cor(z, ) ? 0，也称为识别约束 那么，z被称作的工具变量。工具变量 设回归模型为： y=Xβ+u (1.4) 其中，解释变量为X（1×K）工具变量为Z（1×）。Z作为工具变量满足正交条件和识别约束条件。中，用Z替换X， (1.5) 解此方程组，可得IV估计量为： (1.6) β+u带入估计量中，可得 可以证明， 即IV估计量是无偏的，但不是有效的。同时，由 可知，IV估计量是一致的。 两阶段最小二乘法TSLS估计 设模型为： (1.7) 其中，解释变量为X（1×K）工具变量为Z（1×L）。用Z作为工具变量，Z满足正交条件和识别约束条件。首先回归模型 (1.8) 可得，并提取拟合值。令，PZ为对称幂等矩阵。然后，利用做为工具变量回归模型，可得IV估计量为： (1.9) 。由此可得： (1.10) 而是y对的OLS回归估计量。因此，利用作为工具变量作IV回归与利用替换X作LS回归是等价的。也正因为此，我们称之为两阶段最小二乘法。估计步骤归纳如下。 Step1：利用X对Z作OLS回归：；提取拟合值。 Step2：用替换X，直接作OLS回归。 2SLS的渐进特征 假定1：令X表示解释变量（包括常数变量1）。假定存在L个工具变量构成的（1×L）向量Z，满足E(Zu)=0。Z包含模型中外生解释变量。如果模型中存在内生变量，则Z必须包含模型以外的变量。 假定2：（A）Rank(ZZ)=L；（B）Rank(ZX)=。（A）条件是指L个向量Z不存在完全的线性关系；条件（B）是指Z与X充分线性相关。条件（B）称为秩条件。秩条件成立的必要条件是L≥K。即，工具变量的个数至少等于解释变量的个数称之为阶条件。 由X Z?+v（其中，?L×K矩阵），两侧同时乘Z并求期望可得： (1.11) 令*=Z? = Z[E(Z Z)]-1 E(Z X)。在β+u=y两边同时乘以*可得，*Xβ + X*u = X*y (1.12) 求期望可得： *X)β= E(X*y) (1.13) 而 X*X = X*Z? + X*v， E(X*X) = E(X*Z)? + E(X*v) = E(X*Z)? E(X*Z)= E[(X-v) Z] = E[XZ - vZ] = E(XZ) 将? = [E(Z Z)]-1 E(Z X)带入上两个式子中，可得： E(X*X) = E(XZ) [E(ZZ)]-1 E(ZX) = E(XZ) [E(ZZ)]-1 E(ZX) (1.14) E(X*y) = E(X Z) [E(ZZ)]-1 Z y 注意，上式中Z是（1×L）阶，是（1×K）阶。因此， Z