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Ch07 间接平差__例题 例在一个三角形中，等精度独立观测了三个角，观测值分别为L1、L2和L3。求此三角形各内角的最或然值。若能选取两个内角L1、L2的最或然值作为参数，则可以建立参数与观测值之间的函数关系式 称为观测方程 可得 称为误差方程为了计算方便和计算数值的稳定性，通常引入未知参数的近似值，这一点在实际计算中是非常重要的，令，则式可写成如下形式： 称为误差方程，， 也可以称为某种意义上的条件方程（包含改正数、观测值和参数，“条件个数=观测值个数”），每个条件方程中仅只含有一个观测值，且系数为1。单纯为消除矛盾， 、可有多组解，为此引入最小二乘原则：可求得唯一解。因此，间接平差是选取与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，建立参数与观测值之间的函数关系，按最小二乘原则，求解未知参数的最或然值，再根据观测值与参数间的函数关系，求出观测值的最或然值，故又称为参数平差。对上述三角形，引入最小二乘原则，要求： ，设观测值为等精度独立观测，则有： 按数学上求自由极值的方法对上式分别求偏导数并令等于零，可得 = （2）×2-(1)= = = ， 代入误差方程式，得到观测值的最或然值 例图所示的水准网中，A、B、C为已知水准点，高差观测值及路线长度如下： = +1.003m， = +0.501m， = +0.503m， = +0.505m； =1km， =2km， =2km， =1km。已知 =11.000m， =11.500m， =12.008m，试用间接平差法求 及 点的高程平差值。 图 =2，选取 、 两点高程 、 为参数，取未知参数的近似值为 、 ，令2km观测为单位权观测，则 。 （2）根据图形列平差值条件方程式，计算误差方程式如下 代入具体数值，并将改正数以(mm)为单位，则有 可得 、 和 矩阵如下 、 （3）依据最小二乘原理，由误差方程系数 和自由项 组成法方程 得 解算法方程，求出参数 （4）计算参数的平差值 ； 由误差方程计算 ，求出观测量平差值 ； 例7.2.1 导线网平差 如图4-7所示，A、B、C为已知点，P1、P2是待定点。同精度观测了六个角度、、…、，测角中误差为±2.5″，测量了四条边长、、、，观测结果及其中误差见表4-2。起算数据见表4-1。试按间接平差法求待定点P1及P2的坐标平差值。 表4-1 点名 x(m) Y(m) S(m) 坐标方位角（°′″） A B C D 3143.237 4609.361 4157.197 3822.911 5260.334 5025.696 8853.254 9795.726 1484.781 1000.000 350 54 27.0 109 31 44.9 表4-2 角度 边长 编号 观测值 （°′″） 编号 观测值 （°′″） 编号 观测值s （m） 中误差 (cm) 1 2 3 4 44 05 44.8 93 10 43.1 42 43 27.2 201 48 51.2 5 6 201 57 34.0 168 01 45.2 7 8 9 10 2185.070 1522.853 1500.017 1009.021 ±3.3 ±2.3 ±2.2 ±1.5 解： 本题，即有10个误差方程，其中有6个角度误差方程，4个边长误差方程。必要观测数。现取待定点坐标平差值为参数，即 ① 计算待定点近似坐标 各点近似坐标按坐标增量计算，结果见表4-3。 表4-3 点名 观测角 °′″ 坐标方位角 °′″ 观测边长 近似坐标 A B P1 D C P2 93 10 43.1 168 01 45.2 350 54 27.0 77 43 43.9 109 31 44.9 301 29 59.7 1522.853 1009.021 3143.237 4609.361 4933.025 3822.911 4157.197 4684.408 5260.334 5025.696 6513.756 9795.726 8853.254 7792.921 ② 由已知点坐标和待定点近似坐标计算待定边的近似坐标方位角和近似边长（见表4-4）。 表4-4 方向 近似坐标方位角 近似边长（m） AP1 BP1 P1 P2 P2C 35 00 15.4 77 43 43.9 99 32 27.8 121 29 59.7 2185.042 1522.853 1499.913 1009.021 ③ 计