9时间序列模型非平稳..doc

§9、非平稳时间序列、协整 回顾平稳时间序列具有下面几个特征： （1）均值回归（mean reversion）。观测值总是围绕着均值上下振荡。 （2）有限方差。不随时间变化。 （3）自相关函数随着滞后阶数增加会消失。 下面我们对常见的非平稳序列进行介绍。 随机游走和伪回归 1、随机游走 一类典型的非平稳过程，模型形式如下：，其中误差项服从白噪声过程，则称为随机游走（Random Walk）过程。 其统计特征如下： 随机游走过程具有几个特点：（1）序列并不是围绕着某一个均值上下振荡。（2）方差随着时间发生变化。（3）自相关函数消失得很慢。 它的自相关图如下： 下面我们来看带飘移项（drift）的随机游走过程： 它具有下面的统计特征： 2、单整 如果一个平稳时间序列经过d次差分后才能变换为一个平稳的、可逆的ARMA时间序列，那么我们称具有d阶单整性，记为：。 平稳序列，是I(0)的。单整序列一般指单整阶数大于0的序列。 如果时间序列，则。 一般来说，， 如果z的单整阶数小于a时，称这两个序列存在着协整（cointegration）关系。 3.随机游走过程的统计特征 其中u为白噪声序列，服从独立的正态分布。 经过换算，我们得到： 其统计特征： 随着t的增加，方差变为无穷大。 4.伪回归（spurious regression） 如果是两个随机游走过程， 是两个互相独立的过程。这意味着也是相互独立的，但是如果我们对他们作回归，会得到： 因为两者相互独立，我们希望不显著，接近于0。如果在5%的显著性水平上检验，我们希望的t统计量在每100次中有95次是不显著的。通过模拟，Granger和Newbold（1974）证明了事实并非如此：即使两者独立，在很大比例的次数中，对的回归都会产生一个统计上显著的t统计量，远大于名义的显著性水平（随着样本容量增加，拒绝不显著的概率也在增加）。他们把这种现象称为伪回归或谬误回归现象（spurious regression problem）：y和x之间根本没有关系，但是OLS回归往往解释它们之间存在某种关系。 即使在方程中添加一个时间趋势t，也不会改变我们的结论。有I(1)序列的回归容易出现伪回归问题，只有当I(1)因变量和某个I(1)自变量确实存在某种关系时，做他们的回归才有意义。 单位根检验 1、DF检验 由于伪回归的存在，检验变量的非平稳性（单整性）就非常必要，下面主要介绍DF和ADF检验。 三种自回归过程： （1） （2） （3） 其中：是位移项（飘移项），是趋势项。 允许存在暂时相关和异方差。 对于以上的三个模型，当，是平稳的；是非平稳的。 对模型（１），可以证明，当T→∞时，，其中表示若收敛于；是随机项在满足严格条件下的方差。W(i)表示标准的维纳过程。上式表明DF统计量收敛于维纳过程的函数。 当在满足严格条件下，即：，随着T→∞, 同样对模型（2）、（3）估计参数，DF统计量的极限分布也是维纳过程的函数。这些极限分布无法求出解析解，通常用数值模拟计算。 图　三种模型对应的DF检验统计量模拟值 Fuller（1976），Dick（1979）用蒙特卡罗模拟方法得到的不同样本容量条件下的DF分布百分位数表。因为DF分布和ｔ分布完全不同，所以检验不能用t分布临界值。 模型１的单位根检验： 在零假设成立下，利用DF统计量进行单位根检验。 DF检验统计量：。 对照临界值表： 如果DF绝对值≥临界值绝对值，则拒绝零假设，认为平稳的。 如果DF绝对值临界值绝对值，则接受零假设，认为非平稳的。 注意：DF检验是左单边检验。因为，意味着强非平稳性，意味着平稳，如果接受，拒绝，自然也会拒绝。 总结：。 下面三种零假设成立对应不同的模型： 　　H0：?=0，?=1；（随机趋势过程） 　　H1a：?=0，?1；（平稳过程） 　　H1b：??0，?1；（趋势平稳过程） 另一种形式的Dickey-Fuller检验（DF）检验， 如果我们在模型（１）－（３）两边分别减去因变量的滞后项，我们回到下面的三个模型形式： （1） （2） （3） 其中：。 相应地我们的零假设和备择假设变为： 对每一个模型都会得到不同的检验统计量，并不服从t分布，而且三个模型的分布不同。 Dickey和Fuller提供了这三个检验统计量的数值模拟计算的临界值，如下表１： 模型 检验统计量 95%置信度的临