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第九章 广义积分习题课 一、主要内容 1、基本概念 无穷限广义积分和无界函数广义积分敛散性的定义、绝对收敛、条件收敛。 2、敛散性判别法 Cauchy收敛准则、比较判别法、Cauchy判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法。 3、广义积分的计算 4、广义积分与数项级数的关系 5、广义积分敛散性的判别原则和程序 包括定义在内的广义积分的各种判别法都有特定的作用对象和原则，定义既是定性的――用于判断简单的具体广义积分的敛散性，也是定量的――用于计算广义积分，其它判别法都是定性的，只能用于判断敛散性，Cauchy判别法可以用于抽象、半抽象及简单的具体广义积分的敛散性，比较判别法和Cauchy判别法用于不变号函数的具体广义积分和抽象广义积分判别法，Abel判别法和Dirichlet判别法处理的广义积分结构更复杂、更一般。 对具体广义积分敛散性判别的程序： 1、比较法。 2、Cauchy法。 3、Abel判别法和Dirichlet判别法。 4、临界情况的定义法。 5、发散性判别的Cauchy收敛准则。 注、对一个具体的广义积分敛散性的判别，比较法和Cauchy法所起作用基本相同。 注、在判断广义积分敛散性时要求： 1、根据具体题型结构，分析特点，灵活选择方法。 2、处理问题的主要思想：简化矛盾，集中统一，重点处理。 3、重点要掌握的技巧：阶的分析方法。 二、典型例子 下述一系列例子，都是要求讨论其敛散性。注意判别法使用的顺序。 例1 判断广义积分的敛散性。 分析 从结构看，主要是分析分母中两个因子的作用。 解、记， 对，先讨论简单情形。 时，时收敛，时发散。 ，不妨设，则，故，时为常义积分，此时收敛。时，由于 因此，与积分同时敛散，即时收敛，时发散。 因此，对，此时广义积分的敛散性完全由分母中的低阶项决定。 上述结论也可以总结为：min{p,q}1时收敛，min{p,q}时发散。 对，类似可以讨论，即 时，时收敛，时发散。 ，不妨设，则，由于 因此，与积分同时敛散，即时收敛，时发散。 此时，广义积分的敛散性完全由分母中的高阶项决定。 上述结论也可以总结为：max{p,q}1时收敛，max{p,q}时发散。 综上：时收敛，其余发散。或者为：min{p,q}1max{p,q}时收敛，其余时发散。 例2 讨论的绝对收敛和条件收敛性，其中m0。 分析 积分结构中包含有正弦函数的因子，注意利用它的两个特性：本身有界性――用于获得绝对收敛性的相关结论；积分片段的有界性――用于获得收敛性。注意验证积分片段有界性时的配因子方法。 解：先分析绝对收敛性，由于 ， 故，m1时，广义积分绝对收敛。 当时，利用配因子法验证积分片段的有界性， 由Dirichlet判别法，广义积分收敛。 由于 ， 而类似可以证明收敛，发散，因而，发散，故时，广义积分条件收敛。 注、从解题过程中可知，利用定义可以证明m=0时积分发散。 注、不能将积分分成如下两部分 ＝， 通过右端两部分的收敛性得到I的收敛性，原因是只有当右端两项同时收敛时，才成立上述的分解结论。 例3 讨论的敛散性。 分析 从结构看，应该分段处理，重点是讨论ln（1＋x）的当和时的性质，进行阶的比较。 解、记，。 对， 由于 ， 故，当，即时，收敛；当时，发散。 对， 利用已知的结论：，则 ， 当时，取使得，则 故收敛。 当时，取，则 故发散。 因而，当时，收敛；时发散。 例4 讨论的敛散性，其中。 分析 分段处理，对第一部分的无界函数广义积分，是非负函数的广义积分，可以用比较判别法或Cauchy判别法，对第二部分的无穷限广义积分，由于被积函数是变号函数，因此，应该用Abel判别法或Dirichlet判别法。 解：记 ， 对，当时， 故，收敛。由于此时被积函数不变号，故又绝对收敛。 当时， 故，发散。 对，由于 ， 故当时，（绝对）收敛。 当时，由于，对任意， 且 当时，单调递减趋于0，由Dirichlet判别法，收敛。 又，此时 且收敛，因此，发散。 因而，当时，条件收敛。 综上，； 例5 讨论的敛散性，其中p、q非负。 分析 从被积函数的结构可以发现，组成被积函数的两个因子中，较难处理的是因子，因此，处理思想就是将其简化，处理手段是变量代换。处理技巧是先易后难。 解、先考虑最简情形：时的情形。 记，，此时，、分别是无界函数和无穷限广义积分，因此，时，收敛；时， 发散；而对，