4-18-求解线性非齐次高阶方程的特解-常数变易法..docVIP

4.3 非齐次高阶线性方程特解的常数变易方法、叠加原理 ( Use the method of Variation of Constants to find particular solution to nonhomogeneous higher order Linear ODE) [教学内容] 1. 介绍非齐次线性方程特解的常数变易法. 2. 介绍非齐次线性方程特解的叠加原理.3. 介绍一些特殊求解方法（乘积求导法则、特征方程法和刘维尔公式） [教学重难点] 重点是知道常数变易法求解非齐次线性方程的特解； 难点是如何给出未知函数满足的方程. [教学方法] 预习1、2、3；讲授1、2、3 [考核目标] 1. 灵活运用常数变易法求解非齐次线性方程的特解. 2. 知道非齐次线性方程特解的叠加原理.3. 知道一些特殊求解方法（乘积求导法则、特征方程法和刘维尔公式） 常数变易法求解非齐次线性方程的特解（以二阶微分方程为例） 引例(1) 求出方程; (2) 的通解. 这里和不是多项式函数、不是指数函数、不是可以用形式特解的待定系数法来求解方程的特解. 解法思路：考察 (**). 为了求出方程（**）的一个特解，先考虑相应的二阶齐次线性方程(*)，假定已知齐次线性方程的基本解组，则齐次线性方程的通解为，其中为常数. 现假定方程（**）具有形如的特解（这就是常数变易法叫法由来！），经计算得到 ， 注意到将其代入原方程（**）只得一个等式，而这里有两个未知函数，因此我们添加一个限制条件 ；进一步求二阶导数得到 ， 将代入原方程得到， ， 注意到为方程（*）的解，因此上述左端第一项和第二项都为零，即得到如下方程组 ，由此运用克莱姆法则得到，这里为Wronski行列式，是不为零的（为什么？）. 最后对上面两个等式两边同时关于变量t积分可得. 例56 求解的一个特解. 解：第一步：注意到原方程已是标准形式了，相应的齐次方程为，其特征方程为，特征值为. 于是相应的基本解组为. 第二步：假定原方程具有如下特解 ，于是由常数变易法知，满足，解得 ，. 于是得到，，其中为任意常数. 特别地，取得到所求特解为. 例57. Find a particular solution to the differential equation . Solution (1) The equation has standard form and the associated homogeneous equation is , whose characteristic equation is . Then we get and corresponding fundamental solutions to homogeneous equation are . Suppose the original equation has the following particular solution , Then we get . By applying Cramers Rule, we get , We use integration by parts to determine that , . Particularly, we choose and get a particular solution to our differential equation is . 作业51. Find a particular Solution of the differential equation . 例58. 求方程的通解. 解：（1）相应齐次方程为，这是一个欧拉方程. 令 其特征方程为，. 于是相应齐次线性方程的基本解组为. 改写原方程为标准形式，记. 假定上述方程具有如下特解，于是有 ，, 运用分部积分法得到， ； 特别地，取，得到原方程的一个特解. 因此，原方程的通解为，其中为任意常数. 作业52. 求解的通解. 2. 非齐次线性方程的叠加原理 参见教材P131，习题2. 例59 求方程的一个特解. 解：令. 考察相应齐次线性方程，其特征方程的特征根为，相应的基本解组为. 考察非齐次线性方程，假定方程具有特解，代入方程运用待定系数法求得. 考察非齐次线性方程，运用例56的结果知， 由非齐次线性方程的叠加原理知，原方程的一个特解. 作业53. 求方程的通解. 一类特殊齐次线性微分方程基本解组和特解求法 乘积求导法则：， . 例60. 求解方程(1) ; (2) 通解. 解：(1) 令，于是方程的左端为，于是得到 ，其中为任意常数. 于是得到原方程的通解为，其中为任意常数.