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第二篇 机械振动和机械波 第十四章 机械振动 一、基本要求 掌握描述简谐振动的各物理量(特别是相位)及各量间关系。 掌握旋转矢量法，以及用它求位相、初相。 掌握简谐振动的基本特征，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义。 理解同方向、同频率两个简谐振动的合成规律。 谐振动的能量 二、基本内容 本章主要研究简谐振动的基本规律。 (一)简谐振动 1、简谐振动的描述 (1)运动学描述 如果描述物体运动的物理量满足： （14—1) 则此运动就称为简谐振动。 式（14—1)称为简谐振动的形式表达式。此处可以是线位移、角位移等，视具体振动系统而定。 (2)动力学描述 当一物体受到合外力大小满足 （14—2) 式中 ——与运动无关的常量。 根据牛顿第二定律，可得 又运动学特征 （14—3) 可得： 满足式（14—2)或（14—3)称为简谐振动，式（14—3)称为简谐振动的微分方程或简称振动方程。 式（14—3)的解就是振动表达式（14—1)。 我们把作简谐振动的物体叫做谐振子，典型的谐振子是弹簧振子， 图14—1 弹簧振子 初学者可利用此模型来理解振动定义、表达式、特征量、能量等内容。 从式（14—1)简谐振动表达式得到其振动速度、 的表示式。即 （14—4) （14—5) 2、特征量 从式（14—1)看，要确定一个简谐振动，就要确定振幅，圆频率和初相。它们对应着简谐振动的特征量：周期、频率、圆频率它们的关系式为： （14—6) 只与谐振系统有关，是系统固有的。而与其运动状态无关。所以又称为固有周期，固有频率等。 如弹簧振子中：。式中为弹簧的倔强系数。 (4)振幅 取决于运动状态。即由初始条件或某一时刻的运动状态决定的。 （14—9) 相位)，初相 （14—10) 3、相位的意义 相位在简谐振动中是一个很重要的物理量。 对单个简谐振动： 对于谐振子，不同的相位就对应着不同的运动状态()。换句话说，相位可以确定任意时刻的运动状态()。 相位又能很好地体现简谐振动的周期性。谐振子两时刻相位差(为整数)则振子状态完全复原。 两个同频率谐振动的比较： 若＜＜2 第二个振动超前第一个振动， 若-2＜＜0 则第二个振动落后第一个振动，或第二个振动超前第一个振动(2-)。 (二)简谐振动的旋转矢量表示法 1、简谐振动的曲线 简谐振动，对应振动曲线～。如图14—2。 必须熟练掌握：已知简谐振动表达式画出振动曲线，或反过来，已知振动曲线，得到圆频率，振幅，初相，并写出振动表达式。 2、旋转矢量法……也叫矢量圆图法。 对于给定的简谐振动，旋转矢量法描述如下： 振幅矢量以角速度，沿逆时针方向匀速转动，在任意时刻，矢量与轴的夹角为。正好等于时刻振动的相位!！且矢量在轴的投影为 恰是简谐振动的表达式。 图14—2简谐振动的振动曲线 图14—3简谐振动的矢量圆图 旋转矢量法是：旋转矢量的投影点与谐振动曲线上的点一一对应，使简谐振动各个物理量直观化。特别是相位，可用旋转矢量与轴夹角形象的体现。但它的物理意义并不是角度。 灵活运用旋转矢量法，对简谐振动各个物理量特别是相位（初相位）的处理非常方便、直观。 (三)简谐振动的能量 谐振动系统中既有动能，又有势能，总的机械能是守恒的。 （14—11) （14—12) （14—13) 注意：势能包含谐振动系统的所有势能。 (四)简谐振动的合成 主要掌握同方向、同频率的简谐振动的合成。 几个同方向、同频率的简谐振动的合振动仍是一个同方向、同频率的简谐振动。可用两种方法处理。 1、解析法 设一个谐振子同时以下两个振动 其合振动为 （14—14) 那么合振动的振幅及初相为 （14—15) 其中： （14—16) 注：当两振动反向时，不用公式。只能用双矢量圆图法求初相。 2、旋转矢量法 合振动的旋转矢量是两个分振动的旋转矢量的矢量和，是对角线。故也像分矢量一样作旋转运动。如图14—4所示。故由的旋转矢量圆图可得到以上的结果。 可见以上两个简谐振动的合成，合振动的振幅与相位和两个分振动相位差有很大关系。 当 (=0，±1，±2……)，则 合振幅最大。 当(=0，±1，±2……)，则合振幅最