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7　平面机构的运动几何学基础 平面机构的尺寸设计区分为有限分离位置的机构设计与无限分离位置的机构设计。有限分离位置的机构设计，是指从动件或连杆处于不同位置时的机构设计；无限分离位置的机构设计，是指从动件或连杆处于某一位置时，速度及其导数的数值也需要满足要求的机构设计。在无限分离位置的机构设计中，涉及到速度瞬心、瞬心线、动点轨迹的曲率、曲率圆、动点的轨迹与曲率圆的相切、拐点（Point of Inflection）、尖点、鲍尔点（Point of Ball）与布尔梅斯特尔点（Point of Bermester）等概念。本章的目的在于了解平面机构运动几何学的基本概念、确定相关点的位置并考察这些点的运动特征。 7.1　平面机构的瞬心线 当两个平面互作相对平面运动时，在这两个平面上位置坐标相同、速度相等的瞬时重合点称为速度瞬心。速度瞬心是两个平面相对位置的函数，当平面2固定，平面1相对于平面2作平面运动时，把那些作为瞬心的点P12连接起来，则得到平面2上的固定瞬心线L(P12)；当平面1固定，平面2相对于平面1作平面运动时，把那些作为瞬心的点P21连接起来，则得到平面1上的固定瞬心线L(P21)，这两条瞬心线作相对纯滚动。 图7.1为铰链四杆机构，构件4为机架，连杆2与机架4的速度瞬心为P24，当曲柄1作整周转动，把不同位置的全部瞬心P24连接起来时，在机架4上得到定瞬心线L(Pf)。在某一位置，若让连杆2作为机架，构件4作为连杆时，当把不同位置的全部P42连接起来时，在“固定”连杆2上得到动瞬心线L(Pm)。定瞬心线L(Pf)与动瞬心线L(Pm)之间的相对纯滚动规律与连杆2相对于机架4之间的相对运动规律完全相同。 图7.2为双滑块机构，构件4为机架，连杆2与机架4在图示位置的速度瞬心为P24，当把不同位置的全部瞬心P24连接起来时，在机架4上得到定瞬心线L(Pf)，L(Pf)为半径等于连杆长度的一个圆，圆心为O。在某一位置，若让连杆2作为机架，构件4作为连杆，当把不同位置的全部P42连接起来时，在“固定”连杆2上得到动瞬心线L(Pm)，L(Pm)为直径等于连杆2长度的一个圆。当动瞬心圆L(Pm)相对于定瞬心圆L(Pf)运动时，动瞬心圆L(Pm)上的A点的运动规律与双滑块机构中连杆2上A点的运动规律相同。 由于两条瞬心线之间的纯滚动与两个构件之间的相对运动具有相同的运动规律，所以，可以通过设计一对瞬心线来实现两个作相对平面运动构件之间要求的运动规律。由图7.1得知，动点（A）、动点的曲率中心（A0）与瞬心（P24）一定处于动点（A）轨迹的法线上。 7.1.1　曲柄摇杆机构的瞬心线 1）曲柄摇杆机构的位置分析 在如图7.3所示的曲柄摇杆机构中，曲柄摇杆机构的位移方程为 消去δ，引入系数kA、kB和kC分别为 kA＝－sinφ kB＝d/a－cosφ kC＝(d2＋c2＋a2－b2)/(2ac)－(d/c)cosφ 于是，得摇杆3的角位移方程及其解ψ分别为 由式（7－2）得连杆2的角位移δ为 2）瞬心线方程的建立 在如图7.3所示的固定坐标系xA0y中，曲柄A0A的斜率k1＝tanφ、曲柄及延长线的方程为；摇杆B0B的斜率k3＝tanψ，摇杆及延长线的方程为。在固定坐标系xA0y中，由于固定瞬心P24是直线A0A与B0B延长线的交点，所以，令、，即，为此，得定瞬心P24的坐标xP、yP分别为 式（7－6）就是定瞬心线L(Pf)在固定坐标系xA0y中的方程。 为了求得动瞬心线Pm的方程，首先考察图7.4所示的固定坐标系x1O1y1与可动坐标系x2O2y2之间的坐标变换关系，设O2在x1O1y1坐标系中的位置坐标为（xR1，yR1），一个动点P(P1)在x1O1y1坐标系中的坐标为（xP1，yP1），该动点P(P2)在x2O2y2坐标系中的坐标为（xP2，yP2），（xP2，yP2）到（xP1，yP1）之间的坐标变换关系为 （xP1，yP1）到（xP2，yP2）之间的坐标变换关系为 在图7.3中，将连杆2的角位移δ固定在一个数值上，比如δ＝δ0，δ0对应于φ＝φ0，令，，得动瞬心线L(Pm)关于δ0位置的直角坐标表达式为 或表达为 当0o≤φ≤360o时，得到连杆2在自身平面与δ＝δ0位置上的瞬心线L(Pm)。 3）课程上机内容与要求 以一组默认参数作为预设计，即a＝0.080 m，b＝0.200　m，c＝0.150 m，d＝0.225 m。 令φ＝φ0时，ψ＝ψ0，δ＝δ0，ψ0由式（7－4）计算，此时，φ＝φ0；δ0由式（7－5）计算，此时，φ＝φ0，ψ＝ψ0。 (1) 显示φ＝φ0＝45o，δ＝δ0对应尺寸下的机构简图，画出P24(xP、yP)点。 (2) 生成φ＝φ0＝45o，δ＝δ0对应尺寸下的