213格林公式,曲线积分与路线无关性..docVIP

§3 格林公式，曲线积分与路线无关性 教学目的 掌握格林公式以及曲线积分与路线无关的条件． 教学内容 格林公式；曲线积分与路线无关的条件． (1) 基本要求：掌握格林公式以及曲线积分与路线无关的条件，理解格林公式以及曲线积分与路线无关的条件的定理的证明． (2) 较高要求：掌握格林公式以及曲线积分与路线无关的条件定理应用的特殊技巧． 教学建议 (1) 要求学生必须熟练掌握格林公式以及曲线积分与路线无关的条件，并应用格林公式化二重积分为曲线积分和化曲线积分为二重积分，使他们懂得在什么情况下进行变换可带来方便． (2) 对较好学生要求掌握在应用格林公式以及曲线积分与路线无关的条件的定理时掌握“挖”“补”等某些特殊技巧． 教学程序 一、格林公式 区域边界的正方向的规定：略 定理21.11 若函数，在闭区域上连续，且具有连续的一阶偏导数，则有 =， （1） 这里是区域的边界曲线，并取正方向．公式（1）称为格林公式． 证明 按区域的形状分三种情况来证明. （ⅰ）若区域既是型又是型区域（如图） 区域表示为：， 又可表示为： = == =， 同理可证=，上述两式相加即得 =. （ⅱ）若区域由一条按段光滑的闭曲线围成，用几条光滑曲线将它分成有限个既是型又是型子区域，然后逐块应用（ⅰ）得到它的格林公式，并相加即可，如图中所示的情况则有 =++ =++=． （ⅲ）若区域为由若干条闭曲线所围成的多连通区域，如图为例，可添加直线段，把区域转化为（ⅱ）的情况来处理． ===． 格林公式的便于记忆的形式 =． 例1 计算，其中曲线是半径为的圆在第一象限的部分． 解 半径为的圆在第一象限的部分为区域，由格林公式 ===0+0=,所以 ==． 例2 计算=，其中为任一不包含原点的闭区域的边界． 解 格林公式条件满足，故 === ==0. 例3 计算抛物线与轴所围的面积. 解 ==+ =+0=． 二、曲线积分与路径的无关性 单连通区域的概念：若对平面区域内的任一封闭曲线，皆可不经过以外的点而连续收缩于内的某一点，称为单连通区域．否则称为复连通区域． 定理21.12 设是单连通闭区域．若函数，在内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价： （ⅰ）对于内任一按段光滑的封闭曲线，有 =0； （ⅱ）对于内任一按段光滑的曲线，曲线积分 与路线无关．只与的起点及终点有关； （ⅲ）是内某一函数的全微分，即 ； （ⅳ）在内处处成立． 证明 （ⅰ）（ⅱ）如图 = ==0, 所以=． （ⅱ）（ⅲ） 设为内一定点，为内任意一点，由（ⅱ）曲线积分与路线的选择无关，故当在内变动时，其积分值是的函数，即有=．取充分小，使，由于积分与路线无关故函数对于的偏增量==,其中直线段平行于轴由积分中值定理可得 ====,其中，由在上的连续性 ==. 同理可证=．因此 （ⅲ）（ⅳ）设存在，使得, 所以=，=，因此 =，=, 因，在区域内有连续的偏导数，所以 =, 从而在内每一点处有 =． （ⅳ）（ⅰ） 设为内任一按段光滑封闭曲线，记所围的区域为．由于为单连通区域，所以区域含在内．应用格林公式及在内恒有=的条件，就得到 ==0. 以上证明了所述四个条件是等价的． 注1：第二十章§2中的例1，因不满足=，故积分与路线有关，而例2中=满足，故积分与路线无关． 注2：条件单连通区域是证明要的本节例2中，=0 在除去原点的区域内是成立，但为绕原点的封闭曲线时，所围成的区域包含原点，=成立的区域不是单连通的，因而闭曲线积分可以不为零．事实上 设为绕原点一周的圆时， ：，，, 则有 =． 若函数具有性质 , 称为的一个原函数.函数，满足定理21.12时，在内的原函数可用路线积分的方法求出． 例4 应用曲线积分求 的原函数. 解 =，=在整个平面上有连续的偏导数，且 ==, 故积分与路线无关，取原点为起点，为终点，取如图的折线为积分路线，则有的原函数为 =． 作业 P 231: 1;2;3;4;5;6;7. 《数学分析》下册 第二十一章 二重积分 1