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一、求极限 二、请问 何值时下式成立 由上式可知：当 三、计算定积分 。 * 2010年河北省大学生数学竞赛试题解析 （非数学类） Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 【解】 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 上连续，故 因 在 存在，且 ， 所以， Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 【解】 因此要想极限存在，分子必 时使用洛必达法则得到 c b a , , 注意到左边得极限中，无论 为何值 总有分母趋于零， ，当 须为无穷小量，于是可知必有 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 时，若 ，则此极限 ，则 存在，且其值为0；若 综上所述，得到如下结论： 或 。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 【解】 作变换 ，则 ， 所以， 。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 四、求数列 中的最小项。 【解】 因为所给数列是函数 当x分别取 时的数列。 又 且令 ， 容易看出：当 时， 当 时， 。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 所以， 有唯一极小值 。而 ，因此数列 的最小项 。 。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 五、求 【解】 当 时， 收敛； 。 考虑幂级数 ,其收敛半径为1， 收敛区间为 时， 当 发散， 因此其收敛域为 。 设其和函数为 ,则 ， Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 于是， 故， 。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 六、设 ，其中 【解】 上式两端对 求导得 （*） 为连续函数，求 。 原方程可写为 ， 求导得 两端再对 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 即 这是一个二阶线性常系数非齐次方程， ，由（*）式知 特征方程为 ， 齐次通解为 由原方程知 Evaluation only. Created with A