数学物理方程第5章留数-2(东南大学王元明)解析.pptVIP

第五章 留数 §2留数的一般理论 * 一、定义 定义 如果函数f (z)在z0的邻域D内解析,那么根据柯西积分定理 但是, 如果z0为 f (z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个去心邻域 0|z-z0|R 内包含z0的任意一条正向简单闭曲线C的积分 一般就不等于零. 因此 f (z) = ... +c-n(z-z0)-n+...+c-1(z-z0)-1 +c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n+... 0|z-z0|R 两端沿C逐项积分: 称C-1为 f (z)在 z0 的留数, 记作 Res[ f (z), z0], 即 如果 z0是 f (z)的可去奇点, 则 Res[f(z),z0]=0 . 如果 z0 是本性奇点, 则只好将其按洛朗级数展开. 如果 z0 是 极点, 则有一些对求 c-1有用的规则. 求函数在孤立奇点z0处的留数即求它在洛朗级数中 (z-z0)-1 项的系数 c-1 即可. 但如果知道奇点的类型, 对 求留数可能更有利. 证明　由于z0是 f (z)的1阶极点，所以在z0的 某个去心邻域内的Laurent级数展开式为 故 所以 二. 留数的计算规则 规则1 如果z0为f (z)的一阶极点, 则 规则2 如果z0为f(z)的m阶极点, 则 事实上, 由于f (z)=c-m(z-z0)-m+...+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+...,(z-z0)m f (z)=c-m+c-m+1(z-z0)+...+c-1(z-z0)m-1+c0(z-z0)m+..., 令两端 z?z0, 右端的极限是(m-1)!c-1, 两端除以(m-1)! 就是Res[f (z), z0], 即得规则2, 当 m=1时就是规则1。 例　求 和 在孤立奇点处的留数. z=0是g(z)的1阶极点，于是 易知z=1和z=2都是 f (z)的1阶极点，故 例　求 在孤立奇点处的留数. 处解析，且 所以 是 f (z)的1阶极点，并且 显然 和 都在 例　 求 在z=0处的留数. 可知, z=0是f (z)的3阶极点, 定理一(留数定理) 设函数 f (z)在区域D内除有限个孤立奇点 z1, z2, ..., zn 外处处解析. C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线, 则 D z1 z2 z3 zn C1 C2 C3 Cn C 三、留数定理 [证] 把在C内的孤立奇点zk(k=1,2,...,n)用互不包含的正 向简单闭曲线Ck围绕起来, 则根据复合闭路定理有 注意 定理中的条件要满足。例如 不能应用留数定理。 由规则1, 得 我们也可以用规则3来求留数: 这比用规则1要简单些. 例 4 解： 所以 原式= 定义 设函数 f (z)在圆环域 R|z|? (R≥0) 内解析,即无穷远点为f(z)的孤立奇点。 C为圆环域内绕原点的任何一条简单闭曲线, 则积分 四、在无穷远点的留数 理解为C的负方向。 的值与C无关, 称其为f (z)在?点的留数, 记作 *