数学物理方法教学Chapt4解析.ppt

应用留数定理计算实变函数定积分 1.考虑如右图所示半圆回路l，根据柯西定理，有(第二种求解方法) 2.再根据留数定理，有 3.令R→∞,求上式的极限值，有 应用留数定理计算实变函数定积分 0 例4.计算 解: (1) f(z)的奇点是否在实轴上？ z=i，上半平面！ z=-i，下半平面！ (2) z→∞, zf(z)→0 ? 应用留数定理计算实变函数定积分 例4.计算 (3) f(z)在上半平面奇点的留数 应用留数定理计算实变函数定积分 例5.计算 ，(n为正整数) 解: z=i，上半平面n阶极点！ z=-i，下半平面n阶极点！ 应用留数定理计算实变函数定积分 例5.计算 ，(n为正整数) 解: 应用留数定理计算实变函数定积分 例5.计算 ，(n为正整数) 解: 应用留数定理计算实变函数定积分 例6.计算 ，(n为正整数) 解: 积分区间不满足类型二的条件，但是被积函数f(z)=1/(1+x2)n为偶函数，故有， 应用留数定理计算实变函数定积分 例7.计算下列积分值. 应用留数定理计算实变函数定积分 应用留数定理计算实变函数定积分 类型三 条件：F(x)和G(x)分别为偶函数和奇函数，且在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的；当z在上半平面及实轴上→∞时，F(z)及G(z)一致地→0. 1.对所求积分进行形式变换， 应用留数定理计算实变函数定积分 2.对第二项积分作积分变量代换,x→-y,有 3.将第二项的积分变量再改为x, 4.同理有， 应用留数定理计算实变函数定积分 约当引理 如m为正数，CR是以原点为圆心而位于上半平面的半圆周，又设当z在上半平面及实轴上→∞时，F(z)一致地→0，则 证明: 应用留数定理计算实变函数定积分 (1).注意到条件：当z在上半平面或实轴上→∞时，F(z)一致地→0，有， (2).证明右端积分有界即可 = (3).在0≤ψ≤π/2范围内,0≤2ψ/π≤sin ψ,有 (4).当R→∞,上式→有限值，这就证明了约当引理！ 应用留数定理计算实变函数定积分 5.类似于类型二，有如下结论： 例8.计算 解: 被积函数 的两个单极点分别 为±ia,则在上半平面的单极点ia的留数为， 应用留数定理计算实变函数定积分 例9.计算 解: 被积函数 的两个二阶极点分别为±ia,则在上半平面的二阶极点ia的留数为， 应用留数定理计算实变函数定积分 例10.计算下列积分 应用留数定理计算实变函数定积分 应用留数定理计算实变函数定积分 类型四 条件：f(x)在实轴上有单极点z=a， 除此之外，f(z)满足类型二或类型三的条件。 取极限：R→∞,ε→0 0 ? 应用留数定理计算实变函数定积分 1.将f(z)在z=a的邻域展为洛朗级数，并注意到z=a是f(z)的单极点，有 2.P(z-a)为级数的解析部分，在积分路径上连续有界， 3. 应用留数定理计算实变函数定积分 ★ 实轴上有多个单极点，则 注意： 1.Cε不是闭合曲线，解析部分的积分是由于ε→0才趋于零； 2.实轴上的奇点只能是单极点，不能是二阶或以上的极点，更不能是本性奇点，否则积分值为趋于无穷大或不存在。 例11.计算 应用留数定理计算实变函数定积分 解： 被积函数除在实轴上有单极点z=0外，满足类型三条件，则 应用留数定理计算实变函数定积分 ★ 对于 +m， ★ 对于 -m， 例12.计算下列积分 应用留数定理计算实变函数定积分 家庭作业 P63 1.(1,3,5,7) 2.(1,3,5,7) 3.(1,3,5,7) 下周一交！ 数学物理方法 梁昆淼 编 刘法 缪国庆 修订 讲演者 徐卫青 (xuwq412@mail.ustc.edu.cn) 数理系，物理教研室 第四章 留数定理 4.1 留数定理 4.2 应用留数定理计算实变函数定积分 *4.3 计算定积分的补充例题 第四章 留数定理 4.1 留数定理 4.2 应用留数定理计算实变函数定积分 *4.3 计算定积分的补充例题 一、包含单个孤立奇点的回路积分 1.对于存在单个孤立奇点的区域，根据复连通区域 的柯西定理，有 问题引入 l l0 z0 2.对于存在孤立奇点的区域，在以z0为中心， 半径为0的圆环域上将f(z)展开为洛朗级数 3.将2式代入1式右边，逐项积分， 问题引入 3式右端积分: k=-1, 2πi; k≠-1,0. 留数(或残数)，Res f(z0