数学物理方程学习指导书第9章勒让德多项式解析.docVIP

第9章 勒让德多项式 本章我们来讨论在章所建立的勒让德方程的解法，以及解的性质，这个解构成了另一类特殊函数. 9.1 勒让德方程的求解 把7.2中的勒让德方程写成如下的形式 (9.1) 其中为任意实数. 如同求贝塞尔方程的解一样，设(9.1)的解为 （9.2） 求上式的导数，并与(9.2)一起代入(9.1)得 （9.3） 上式是的恒等式，所以的各乘幂的系数必全为零， 上式是的恒等式，所以的各乘幂的系数必全为零，在上式第二个或式中令，便得到的乘幂的系数，然后令它等于零，即 由此得或.为了得到一般项系数的表达式，我们把(9.3)写成如下形式 于是由一般项的系数等于零，得到递推公式 取，得 （9.4） 这便是级数(9.2)的系数间应满足的递推公式.令，分别得 …………………… …………………… 令分别得 …………………… 将这些值代入级数(9.2)，便得 (9.5) 其中是两个任意常数，由于方程是齐次的，所以函数 （9.6） （9.7） 也都是方程(9.1)的解，显然在的情况下，它们是线性无关的. 如果开始时取，重复前面的做法，所得的级数解就是.这里不再赘述，读者可自己验算. 从系数的递推公式(9.4)容易证明这两个组数的收敛半径都为1，故在内(9.5)式即为方程(9.1)的通解. 9.2 勒让德多项式 上面我们求出了方程(9.1)的解，并且从(9.6)与(9.7)可以看出，当不是整数时，都是无穷级数，在内它们都绝对收敛，可以证明在时发散，且当时，与均趋于. 当是整数时，则或者便成为多项式，例如是正偶数（或负奇数）时是n次多项式，而当是正奇数（或负偶数）时，是次多项式，在实际运用中，这种特殊情况常常出现，现在我们就来给出这个多项式的表达式. 于是可以通过多项式的最高次项系数来表示其他各次项的系数. ……………… 为了使这些表达式能够写成比较简洁的形式，并且使所得的多项式在处取的值等于1（见习题九中第1题），我们取为 从而相应地有 一般言之，当时，我们有： 如果是正偶数时，将这些系数代入(9.6)得到 如果是正奇数时，将上面的表达式代入(9.7)式得到 把这两个多项式写成统一的形式，得 (9.8) 其中 这个多项式称为次的勒让德多项式（或称为第一类勒让德函数）. 特别是，当时，分别有 图9-1 它们的图形如9-1所示. 为了后面应用起来方便，我们可将写成 （9.9） 的形式，(9.9)式称为勒让德多项式的罗德利克(Rodrigues)表达式.要验证这个公式，只需要用到计算两个函数乘积的高阶导数的莱布尼兹（Leibnitz）公式： 读者自己应用这个公式去证一下. 综合上述，可得如下结论： 当不是整数时，方程(9.1)的通解为，其中分别由(9.6)和(9.7)确定，而且它们在闭区间上是无界的，所以此时方程(7.1)在上无有界的解. 当为整数时，在适当选定之后，中有一个是勒让德多项式，另一个仍是无穷级数，记作，此时方程(9.1)的通解为 其中称为第二类勒让德函数，它在闭区间 上仍是无界的（因时，）. 9.3 函数展成勒让德多项的级数 在应用勒让德多项式解决数学物理方程的定解问题时，需要将给定在区间内的函数按勒让德多项式展开为无穷有数.根据施特姆-刘维尔理论，勒让德多项式族：在上是正交完备的.因此这样展开是允许的.为了计算展开式中的系数，和贝塞尔函数的情形一样，必须先求出勒让德多项式模值的平方 由(9.9)式并运用分部积分法可得 但以为重零点，所以，于是得 重复运用分部积分法，可得 作代换，则 因而 (9.10) 有了（9.10）式，我们就可以讨论函数按勒让德多项式展开的问题了.设函数满足第五章所述按固有函数展开的条件，则可以表示为 (9.11) 为了求出系数在(9.11)式两端同乘并在区间上积分，得 所以 (9.12) 把代入(9.11)式，便得的展开式. 如果在(9.11)与(9.12)中令，则这两个式子可写成 例1 将函数 ， 按勒让德多项式展开为无穷级数. 解 利用前面勒让德多项式的表达式及公式(9.1