向量组线性相关与线性无关..docVIP

向量组线性相关与线性无关的判别方法 摘要 向量组的线性相关性与线性无关性是线性代数中最为抽象的概念之一，如何判别向量组的线性相关与线性无关是正确理解向量的关键，本文介绍了它与行列式、矩阵、线性方程组的解之间的关系.总结了向量组线性相关和线性无关的判定方法. 关键词 向量组 线性相关 线性无关 矩阵 秩 1 引言 在高等代数中，向量组的线性相关和线性无关的判定这个课题有许多的研究成果，它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间都有着重要的联系，然而向量的线性相关与线性无关的判别是比较抽象和难以理解的，实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了线性相关的判别，那么线性无关的判别也就迎刃而解了，至今已给出了以下几种常见的方法：利用定义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.其中，利用齐次线性方程组，利用矩阵的秩，利用行列式的值这三种方法的出发点不同但实质是一样的. 2 向量组线性相关和线性无关的定义 定义 设向量组都为维向量，如果数域中存在一组不全为零的数 ,使则称向量组是线性相关, 反之，若数域中没有不全为零的数，使 ， 称它是线性无关. 3 向量组线性相关和线性无关的判定方法 3.1 一个向量与两个向量线性相关的判定方法 由定义可以看出，零向量的任何一个线性组合为零，只要取系数不为零，即可以得出这个向量是线性相关的. 命题1 一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量. 关于两个向量的线性相关性判断可以转化为向量的成比例判断. 命题2 两个维向量，线性相关的充要条件是与对应成比例. 证明 假设，线性相关，则存在不全为0的数，使得,即,不妨设,令 则 因此.也就是说与成比例. 反过来，若，，所以线性相关. 3.2 多个向量的线性相关与线性无关判别方法 命题3 若向量组线性相关，则任一包含这组向量的向量组都线性相关. 证明 设线性相关，是包含的一组向量，由于线性相关，则存在一组不全为零的数使得此时有 , 因此，线性相关.证毕. 由命题3可知，在多个向量构成的向量组中，如果该向量组中含有零向量或包含成比例的两向量，那么这个向量组必定线性相关. 命题4 含有零向量或成比例的两向量的向量组必线性相关. 3.2.1 运用定义判定 由定义判断向量组的线性相关性是最直接的方法，于是我们知道若想判断一个向量组的线性相关性只要求出线性表示的相关系数，并由系数的值便可以判断出向量组是否线性相关. 例1 设，证明，当为偶数时，线性相关. 证明 令，即 ， 又即 ， 取 ， 则有 . 由线性相关的定义知，线性相关. 3.2.2 用向量组的秩和矩阵的秩判断 向量组的秩是指向量组中任一个极大无关组所含的向量个数. 命题5 一个向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含的向量的个数相同. 若向量组的秩等于向量的个数，则该向量组是线性无关的，若向量组的秩小于向量的个数，则该向量组是线性相关的. 例2 设向量组，判断的线性相关性. 解 得，于是线性无关. 例3 设向量组线性无关，且可由向量组线性表示.证明：也线性无关，且与等价. 证明 如果线性相关，假设是它的一个极大无关组，如果,就说明了就是它本身的极大无关组，当然是线性无关的,出现矛盾！下面考虑.又因为向量组可由线性表示，则也可由线性表示,于是有,矛盾！ 由于线性无关，则,又可由 线性表示,所以， 等价，所以 . 于是和都是的极大无关组.所以它们是等价的，证毕. 命题6 设为维列向量,矩阵. (i)当时，向量组线性相关; (ii)当时，向量组线性无关. 例4 判断向量组, ,线性相关性. 解 利用矩阵的初等行变换将方程组的系数矩阵化为行阶梯形矩阵 由行阶梯形矩阵知,所以向量组是线性相关的. 上面是以为列向量组构造矩阵，根据矩阵的行秩与列秩的关系，用为行向量组构造矩阵，在进行初等行或者列变换也可以得到相同的结果. 3.2.3 利用行列式的值判断 命题7 若,以作为列向量构成的矩阵是一个方阵， (i)当时，向量组线性相关. (ii)当时，向量组线性无关. 例5 设,问取何值时，向量组线性相关. 解 向量组的个数和维数相等都为3， 可见当时，，所以向量组线性相关. 3.2.4 利用齐次线性方程组的解判断 对于,,的线性相关判断 命题8 若为系数向量的齐次线性方程组有非零解，则向量组线性相关，若该齐次线性方程组只有零解，则向量组 线性无关. 例6 已知, , (i)当为何值时，向量组线性无关？ (ii)当为何值时，向量组线性相关？ (iii)当向量组线性相关，将表示为和的线性组合