11.3角的平分线的性质第2课时.pptVIP

到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上． 用数学语言表示为： 与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段或角相等． 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. ∵ QD⊥OA,QE⊥OB，点Q在∠AOB的平分线上， ∴ QD＝QE. * * * * * * * * 11.3 角的平分线的性质（第2课时） 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角的平分线有哪些性质？ O C B 1 A 2 P D E PD⊥OA，PE⊥OB， ∵ OC是∠AOB的平分线， ∴ PD＝PE. 用数学语言表述： 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上． 证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°.（垂直的定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中， 　QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）， ∴ ∠ QOD＝∠QOE， ∴点Q在∠AOB的平分线上. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上． 用数学语言表示为： 1.要在S区建立一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，且离公路与铁路的交叉处500米．这个集贸市场应建于何处（比例尺为1:20000）？ 2.如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， A B C P M N D E F ∴PD=PE. 同理，PE=PF. ∴PD＝PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 证明：过点P作PD⊥AB于D， PE⊥BC于E，PF⊥AC于F， 想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 结论： 三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. A B C P M N D E F 3.如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上． 证明： 过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD 于H，FM⊥BC于M， G H M ∵点F在∠BCE的平分线上， 　　　　FG⊥AE， FM⊥BC， ∴FG=FM. 又∵点F在∠CBD的平分线上， 　　　　FH⊥AD， FM⊥BC. ∴FM=FH. ∴FG=FH， ∴点F在∠DAE的平分线上.　　　 4． 如图，三条公路两两相交，交点分别为A，B，C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有 （ ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 解析：需考虑外角的角平分线．到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条公路构成的角的平分线的交点．△ABC的二个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求． 答案：D * * * * * * * *