复变函数与积分变换6.2_共形映射的基本问题试题.ppt

* 第六章 共形映射 §6.2 共形映射的基本问题 §6.2 共形映射的基本问题 一、问题一 二、问题二(基本问题) 一、问题一 的函数 求象集合 对于给定的区域 D 和定义在区域 D 上 1. 保域性定理 定理 设函数 在区域 D 内解析，且不恒为常数， 则其象集合 仍然为区域。 证明 (略) 意义 保域性定理将解析函数的象集合的求解问题变成了 求象区域的问题。 定理 6.2 一、问题一 2. 边界对应原理 定理 设区域 D 的边界为简单闭曲线 C，函数 在闭域 上解析，且将曲线 C 双方单值地映射为简单 闭曲线 当 沿 C 的正向绕行时，相应的 的绕行 方向定为 的正向， 并令 G 是以 为边界的区域，则 将 D 共形映射为 G。 证明 (略) 定理 6.3 意义 边界对应原理进一步将解析函数的象区域的求解问题 变成了求象曲线的问题。 一、问题一 2. 边界对应原理 定理 设区域 D 的边界为简单闭曲线 C，函数 在闭域 上解析，且将曲线 C 双方单值地映射为简单 闭曲线 当 沿 C 的正向绕行时，相应的 的绕行 方向定为 的正向， 并令 G 是以 为边界的区域，则 将 D 共形映射为 G。 一、问题一 3. 求象区域的一般方法 则有 设函数 在闭域 上解析，且为一一映射。 (1) 令 ( A ) ( B ) (2) 求边界曲线 C 的象曲线 即得象曲线 的方程 (参数式) 若 C 的方程为 (参数式) 由(A) 式 补 由(B) 式 即得象曲线 的方程 (方程式) 若 C 的方程为 (方程式) 一、问题一 3. 求象区域的一般方法 则有 设函数 在闭域 上解析，且为一一映射。 (1) 令 ( A ) ( B ) (2) 求边界曲线 C 的象曲线 (3) 求象区域 . 方法一 沿边界 C 的正向找三点，考察象点的走向。 方法二 在区域 D 的内部找一点，考察象点的位置。 注意 对于具体的函数，将还会有一些特殊的方法。 一、问题一 3. 求象区域的一般方法 则有 设函数 在闭域 上解析，且为一一映射。 (1) 令 ( A ) ( B ) (2) 求边界曲线 C 的象曲线 (1) 由 有 解 则有 令 (1) 解 (2) 求边界曲线 C 的象曲线 由(1) 式 即得象曲线 的方程为 曲线 C 的方程为 (1) 解 (2) 求边界曲线 C 的象曲线 (3) 求象区域 . 代入函数 在 D 的内部取一点 方法一 得到象点 故象区域 G 在曲线 的“内部”。 (1) 解 (2) 求边界曲线 C 的象曲线 (3) 求象区域 . 在 D 的边界上取三点： 方法二 故象区域 G 在曲线 的“内部”。 后续讨论 将会看到 仅此一步 就足够了 解 设区域 D 的边界为 C ， 其中 (1) 在 的映射下， 曲线 C 对应的 其中 象曲线 的方程为 即得象区域 G 如图所示。 则 C 的方程为 曲线 C 对应的 其中 象曲线 的方程为 即得象区域 G 如图所示。 (2) 在 的映射下， 解