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高二数学选修2－1 第三章 第2节 抛物线北师大版（理） 【本讲教育信息】 一、教学内容 选修2—1 抛物线标准方程及几何性质 二教学目标 掌握抛物线定义、抛物线的标准方程四种形式及其几何性质并能熟练应用定义、几何性质解决抛物线问题。 方程的数学思想、函数的数学思想、等价转化的数学思想、数与形结合的思想及待定系数法、定义法等数学思想方法的应用。 三知识要点分析 抛物线定义：平面内与一个定点F和一定直线L（L不过F点）距离相等的点的集合叫抛物线。定点F叫抛物线的焦点，定直线L叫抛物线的准线。 抛物线的标准方程形式： （p0） （p0） （p0） （p0） ：称为焦准距（焦点到准线的距离） 抛物线几何性质：对称性，范围，顶点，离心率，（以为例） 抛物线的通径：过抛物线焦点且垂直于对称轴的直线与抛物线相交两交点之间的距离是抛物线的通径，长度是2。 有关重要结论：设过抛物线的焦点的直线的倾斜角是，与抛物线交A（。则有下列结论 （1）|AB|=，|AB|=，（显然当时，|AB|最小。最小值是2p，此时|AB|是抛物线的通径。（2）（3） （4）（定值） （5）以|AB|为直径的圆与准线相切。 典型例题 考点一：考查求抛物线的标准方程 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M（m，－3）到焦点的距离是5，求抛物线的方程、m的值、准线方程。 【思路分析】因顶点在原点，对称轴是y轴，点M（m，－3）位于第三、四象限。故可设抛物线方程是 设所求的抛物线方程为，则焦点F 在抛物线上，且|MF|=5， ，故抛物线的方程为，准线y=2。 用待定系数法求的值确定抛物线的方程。 例2设过P（－2，4），倾斜角为的直线L与抛物线C交A，B两点，抛物线C的顶点在原点，以x轴为对称轴，若|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，求抛物线C的标准方程。 【思路分析】由已知得：抛物线的开口方向不定，故可设抛物线方程为 直线L方程y=－x+2.利用|PA|，|AB|，|PB|成等比数列转化为P，A，B三点纵坐标之间关系。由此关系求a的值。 解：设A由已知得L：y=－x+2 （#） ，由|PA|，|AB|，|PB|共线且成等比数列得：成等比数列 即有：………………（*） 把且满足（#） 故：a=1，即所求抛物线方程是 考点二：考抛物线定义的应用 已知抛物线的焦点是F，过焦点F的直线与抛物线交A，B两点|FA|=m，|FB|=n，求证： 【思路分析】设，由抛物线定义得： ， 由AB的直线方程与抛物线方程组成方程组利用根与系数关系可证 证明：（1）当AB垂直于x轴时，此时m=n=p，结论成立。 （2）当AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率是k，则AB： =0 故 由抛物线定义得： ， 故。 【说明】在本题证明的过程中不要忽视AB倾斜角为90°（即斜率不存在的情形） 例4长度为2的线段AB的两端点在抛物线上移动，求AB中点到x轴距离的最小值。 【思路分析】解法一：要求AB中点到x轴距离最小值，只要求AB中点纵坐标的最小值，设A（，B（ 故AB中点纵坐标，利用|AB|=2及不等式有关性质建立关于的不等式。 解法二：利用抛物线定义：AB中点M到x轴距离最小值就是M点到准线距离最小值减去，利用平面几何定理（梯形中位线性质）及可求。 解法一：设A（，B（ 则AB中点纵坐标 由|AB|=2 即 == 当且仅当 解法二：分别过A，B，M（AB中点）作准线L：y=的垂线，垂足分别是，则|是梯形的中位线，即 由抛物线定义知： 故： 即M点到x轴距离的最小值是 【说明】比较两种不同的解法知：巧用抛物线的定义解决问题更加简洁明了，在解决抛物线的有关问题时，要时时关注其定义的应用。 考点三：抛物线在实际问题中的应用 例5某大桥在涨水时最大跨度的中央桥孔如图所示，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，有一货船欲过此桥孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部分中央船体高5米，宽16米，且该货船在现在的状态下还能多装1000吨货物，但每装150吨货物，吃水线就要上升0.04米。若不考虑水下深度，问该货船在现在的状态下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？ 【思路分析】根据已知条件建立如图所示的坐标系。 由A（10，－2）确定抛物线的方程。由装1000吨货物计算吃水线上升的距离，从而计算此时船体的高=5－吃水线上升的距离，然后与C点到水面的距离比较。 解：建立如图所示的坐标系。 设抛物线的方程是，A（10，－2） 故有：100=4p，即p=25，抛物线方程是。 让船沿正中央航行，边缘在抛物线上的射影是C（8，y）代入抛物线方程得y=－1.28. 此时C点距水面的距离是6－1.28=4.72米 因船体高出水面5米，现状无