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高中数学 高三总复习：抛物线的性质教案 万源市第三中学校 王尚莲 复习内容抛物线的定义及相关概念、抛物线的标准方程、抛物线的几何性质知识掌握知识点精析1. 抛物线定义： 平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线，定点不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿，仅比值（离心率e）不同，当e＝1时为抛物线，当0e1时为椭圆，当e1时为双曲线。 2. 抛物线的标准方程有四种形式，参数的几何意义，是焦点到准线的距离，掌握不同形式方程的几何性质（如下表）： 其中为抛物线上任一点。 ??? 3. 对于抛物线上的点的坐标可设为，以简化运算。 ??? 4. 抛物线的焦点弦：设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，直线与的斜率分别为，直线的倾斜角为，则有，，，，，，。 ???? 解题方法指导 ??? 例1. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且与圆相交的公共弦长等于，求此抛物线的方程。 解析：设所求抛物线的方程为或 设交点 （y10） 则，，代入得 点在上，在上 或， 故所求抛物线方程为或。? ?例2. 设抛物线的焦点为，经过的直线交抛物线于两点，点在抛物线的准线上，且轴，证明直线经过原点。 解析：证法一：由题意知抛物线的焦点 故可设过焦点的直线的方程为 ??? 由，消去得 ??? 设，则 ??? ∥轴，且在准线上 ??? 点坐标为 ??? 于是直线的方程为 ??? 要证明经过原点，只需证明，即证 注意到知上式成立，故直线经过原点。证法二：同上得。又∥轴，且在准线上，点坐标为。于是，知三点共线，从而直线经过原点。 ???证法三：如图， ??? 设轴与抛物线准线交于点，过作，是垂足 ??? 则∥，连结交于点，则 ???? ??? 又根据抛物线的几何性质， ??? ??? 因此点是的中点，即与原点重合，直线经过原点。 ????评述：本题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力。其中证法一和二为代数法，证法三为几何法，充分运用了抛物线的几何性质，数形结合，更为巧妙。 ?????说明： ?1. 求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法；若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。 ??? 2. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，能避免求交点坐标的复杂运算。 ??? 3. 解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质。 ??? 解决问题的基本方法和途径：待定系数法、轨迹方程法、数形结合法、分类讨论法、等价转化法。 ?典型例题分析?例3. （2006江西）设为坐标原点，为抛物线的焦点，为抛物线上一点，若，则点的坐标为（?? ?） A.???????????????? B.???????????????? C.???????????????? D.? ????答案：Ｂ ????解析：解法一：设点坐标为，则 ???? ???????????， ??? 解得或（舍），代入抛物线可得点的坐标为。 ??? 解法二：由题意设，则， ??? 即，，求得，点的坐标为。 ????评述：本题考查了抛物线的动点与向量运算问题。 ??例4. （2006安徽）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ???） ??? A. －2????????????????? B. 2?????????????? C.?－4??????????????????Ｄ. 4 ????答案：D ????解析：椭圆的右焦点为，所以抛物线的焦点为，则。 ????评述：本题考查抛物线与椭圆的标准方程中的基本量的关系。 ? 一. 选择题： 1. 抛物线的准线方程为，则实数的值是（??? ） ??? A.??????????????????? B.??????????????????? C.???????????????? D.? 2. 设抛物线的顶点在原点，其焦点在轴上，又抛物线上的点，与焦点的距离为4，则等于（??? ） ??? A. 4?????????????? B. 4或－4??????????????????? C. －2????????????????? D. －2或2 3. 焦点在直线上的抛物线的标准方程为（??? ） ??? A.?????????????????????????? B.?或 ??? C.????????????????????????????? D.?或 4. 圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程为（??? ） ??? A.???????????????????? B.? ??? C.???????????????????? D.? 5. 正方体的棱长为１，点在棱上