[高中数学学案70几何证明选讲二圆的进一步认识.docVIP

学案70　几何证明选讲 (二)圆的进一步认识 导学目标： 1.理解圆周角定理，弦切角定理及其推论；2.理解圆的切线的判定及性质定理；3.理解相交弦定理，割线定理，切割线定理；4.理解圆内接四边形的性质定理及判定． 自主梳理 1．圆周角、弦切角及圆心角定理 (1)________的度数等于其所对____的度数的一半． 推论1：________(或________)所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角____________相等． 推论2：半圆(或直径)所对的__________等于90°.反之，90°的圆周角所对的弧是________(或____________)． (2)弦切角的度数等于其所夹孤的度数的________． (3)圆心角的度数等于它所对弧的度数． 2．圆中比例线段有关定理 (1)相交弦定理：______的两条__________，每条弦被交点分成的________________的积相等． (2)切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的____________． (3)割线定理：从圆外一点引圆的两条________，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 温馨提示　相交弦定理，切割线定理，割线定理揭示了与圆有关的线段间的比例关系，在与圆有关的比例线段问题的证明、计算以及证明线段或角相等等问题中应用甚广． 3．切线长定理 从________一点引圆的两条切线，__________相等． 4．圆内接四边形的性质与判定定理 (1)性质定理：圆内接四边形的对角________． 推论：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内角的________． (2)判定定理：如果四边形的__________，则四边形内接于______． 推论：如果四边形的一个外角等于它的__________，那么这个四边形的四个顶点________． 5．圆的切线的性质及判定定理 (1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的________． 推论1：经过________且与________垂直的直线必经过切点． 推论2：经过________且与切线垂直的直线必经过_______________________________． (2)判定定理：过半径________且与这条半径________的直线是圆的切线． 自我检测 1．如图在RtABC中，B＝90°，D是AB上一点，且AD＝2DB，以D为圆心，DB为半径的圆与AC相切，则sin A＝________. 2．(2010·南京模拟)如图，AB是圆O的直径，EF切圆O于C，ADEF于D，AD＝2，AB＝6，则AC长为__________________________________________________________． 3．(2011·湖南)如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，ADBC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________． 4．如图所示，AB是O的直径，BC是O的切线，AC交O于点D，若AD＝32，CD＝18，则AB＝________. 5．(2010·揭阳模拟)如图，已知P是O外一点，PD为O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，PF＝12，PD＝4，则圆O的半径长为________、EFD的度数为________. 探究点一　与圆有关的等角、等弧、等弦的判定 例1 如图，O的两条弦AC，BD互相垂直，OEAB，垂足为点E.求证：OE＝CD. 变式迁移1 在ABC中，已知CM是ACB的平分线，AMC的外接圆O交BC于点N；若AC＝AB，求证：BN＝3MN. 探究点二　四点共圆的判定例2 如图，四边形ABCD中，AB、DC的延长线交于点E，AD，BC的延长线交于点F，AED，AFB的角平分线交于点M，且EMFM.求证：四边形ABCD内接于圆． 变式迁移2 如图，已知AP是O的切线，P为切点，AC是O的割线，与O交于B、C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点． (1)证明：A，P，O，M四点共圆； (2)求OAM＋APM的大小． 探究点三　与圆有关的比例线段的证明 例3 如图，PA切O于点A，割线PBC交O于点B，C，APC的角平分线分别与AB，AC相交于点D，E，求证： (1)AD＝AE； (2)AD2＝DB·EC. 变式迁移3 (2010·全国)如图，已知圆上的弧＝，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明： (1)ACE＝BCD； (2)BC2＝BE×CD. 1．圆周角定理与圆心角定理在证明角相等时有较普遍的应用，尤其是利用定理进行等角代换