3函数的奇偶性3函数的奇偶性.doc

函数的奇偶性 　 【学习目标】 1.理解函数的奇偶性定义； 2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性； 3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 【要点梳理】 要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数. 要点诠释： （1）奇偶性是整体性质； （2）x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的； （3）f(-x)=f(x)的等价形式为：， f(-x)=-f(x)的等价形式为：； （4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0； （5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0. 2.奇偶函数的图象与性质 （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数. （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数. 3.用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数的定义域，化简函数的解析式； （3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性. 若=-，则是奇函数； 若=，则是偶函数； 若，则既不是奇函数，也不是偶函数； 若且=-，则既是奇函数，又是偶函数 要点二、判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. （2）验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立即可. （3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称. （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数. （5）分段函数奇偶性的判断 判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较. 要点三、关于函数奇偶性的常见结论 奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是减函数（增函数）. 【典型例题】 类型一、判断函数的奇偶性 例1. 判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)f(x)=x2-4|x|+3 ； (3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)； (5)； (6) 【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例（4）中若不研究定义域，在去掉的绝对值符号时就十分麻烦. 举一反三： 【变式1】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数. 例2. 定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)． (1)求证f(x)为奇函数； (2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围． 【总结升华】判断抽象函数的单调性，可用特殊值赋值法来求解.在这里，由于需要判断与之间的关系，因此需要先求出的值才行. 举一反三： 【变式1】 已知函数，若对于任意实数，都有，判断函数的奇偶性. 类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合) 例3. f(x)，g(x)均为奇函数，在上的最大值为5，则在（-）上的最