[2014年秋全优课堂高中数学配人教A版必修一同步课件：第二章+基本初等函数9份2.3.pptVIP

2.3　幂函数 1．一般地，形如________的函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 3．填写下表 1．y＝1和y＝x0(x≠0)一样吗？它们都是幂函数吗？ 【答案】不一样，y＝1不是幂函数，y＝x0(x≠0)是幂函数． 2．幂函数与指数函数有什么区别？ 【答案】指数函数y＝ax(a0且a≠1)的底数a为常数，指数为变量；幂函数y＝xα(α∈R)以幂的底为自变量，指数α为常数． 【答案】C 2．给出四个说法： ①当n＝0时，y＝xn的图象是一个点； ②幂函数的图象都经过点(0,0)，(1,1)； ③幂函数的图象不可能出现在第四象限； ④幂函数y＝xn在第一象限为减函数，则n0. 其中正确的说法个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 解析：①中y＝xn，当n＝0时，y＝1(x≠0)；②中幂函数y＝x－1的图象不经过点(0,0)；③④正确． 4．幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－2为奇函数，则m＝________. 【答案】3 解析：∵f(x)是幂函数，∴m2－5m＋7＝1， 解得m＝2或m＝3. 当m＝2时，f(x)＝1(x≠0)不是奇函数； 当m＝3时，f(x)＝x是奇函数． 1．幂函数的概念 一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． 幂函数的特征： (1)以幂的底为自变量，指数为常数(高中阶段只学习指数为有理数的幂函数)； (2)xα前的系数为1，项数只有1项． 要注意幂函数与指数函数y＝ax(a0且a≠1)的区别，这里底数a为常数，指数为变量． 2．五个具体幂函数的图象与性质 (1)在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都通过点(1,1)； (2)如果α0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数； (3)如果α0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴；当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴； 说明：对于五个具体的幂函数在第一象限的图象的大致情况可以归纳为“正抛负双，大竖小横”这一记忆的口诀．即α0(α≠1)时的图象是抛物线型，α1时的图象是竖直抛物线型，0α1时的图象是横卧抛物线型，α0时的图象是双曲线型． 题型一　幂函数的概念 【例1】 已知函数f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数． 思路点拨：根据函数的定义求解． 1．函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式． 解：根据幂函数的定义，得m2－m－1＝1， 解得m＝2或m＝－1， 当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数； 当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f(x)＝x3. 思路点拨：借助幂函数、指函数的单调性或中间量进行比较． 思路点拨：先利用已知的三个条件求出m的值，再利用幂函数的单调性求a的取值范围，注意分类讨论． 方法点评：(1)解决与幂函数有关的综合题时，一定要考虑幂函数的定义．(2)幂函数y＝xα，由于α的值不同，单调性和奇偶性也就不同． 【例4】 若(a＋1)－1(3－2a)－1，求实数a的取值范围． 错因分析：函数f(x)＝x－1在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为减函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性，错解中错用了函数单调性，从而导致错误． 纠错心得：函数的单调性是函数的重要性质，运用单调性时可结合函数的图象进行．幂函数y＝x－1的单调性很容易出错，要正确运用． Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 误区解密 因对幂函数的单调性理解不透而出错 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyrigh