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初二数学寒假专题（一）北师大版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 寒假专题（一） 二. 教学要求： 熟练掌握勾股定理的应用，了解其在几何学中的重要作用，掌握无理数的定义，会应用无理数的各种计算方式。 三. 重点及难点 1、勾股定理的应用 2、无理数的化简 四. 课堂教学 ［知识要点］ 一、1、勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2、勾股定理的逆定理 （直角三角形的判定） 如果三角形的三边长a，b，c满足， 那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数 满足的三个正整数，称为勾股数。 对于任意两个整数m，n(mn0)，，和2mn 这三个数就是一组勾股数，可见勾股数组有无数组。 4、应用勾股定理解决实际问题 （1）解决两点距离问题：画出正确的图形，已知直角三角形两边，利用勾股定理求第三边。 （2）解决航海问题：理解方向角、灯塔等概念，根据题意画出图形，利用定理或逆定理解决问题。 （3）解决实际问题中两线段是否垂直的问题：以已知两线段为边构造一个三角形，根据三边的长度，利用勾股定理的逆定理解题。 （4）解决折叠问题：正确画出折叠前、后的图形，运用勾股定理及方程思想解题。 （5）解决梯子问题：梯子架到墙上，梯子、墙、地面构成直角三角形，利用勾股定理等知识解题。 （6）解决侧面展开问题：将立体图形的侧面展开成平面图形，利用勾股定理解决表面距离最短的问题。 二、无理数的概念 1、无限不循环小数叫做无理数 2、无理数包括：（1）开方开不尽的数，（2）有特定意义的数（3）有一定结构的无限小数（4）无限不循环小数 3、确定中的正数x的近似值的方法 （1）确定正数x的整数部分。 根据平方的定义，把x夹在两个连续的正整数之间，确定其整数部分， 例如：求中的正数x的整数部分。因为， 即，所以，因此整数部分为2。 （2）确定x的小数部分中十分位上的数字。 所以4.8455.29 所以所以，所以十分位上的数字为2。 4、算术平方根 算术平方根的概念：一般的，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，特别的，０的算术平方根是0。 算术平方根的性质： （1）正数a的算术平方根为， （2）0的算术平方根是0，即=0， （3）负数没有算术平方根。 算术平方根具有双重非负数： 被开方数是非负数，即a≥0， 算术平方根本身是非负数，即≥0 5、平方根 平方根的概念：一般的，如果一个数x的平方等于a，即=a，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次根式） 平方根的性质： 一个正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根“”，另一个是”，它们互为相反数，合起来记作。 6、开平方 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开平方数。 7、两个重要的性质 （1），即当时，，当时， （2） 8、立方根的概念 一般的，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数就叫做a的立方根（也叫三次方根）。 立方根的性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 9、开立方 求一个数a的立方根的运算叫做开立方。 10、两个重要的性质 （1），如 （2），如 11、无理数大小比较的常见方法 估算法： 求差法： 平方法： 12、实数 实数的概念：有理数和无理数统称为实数。 13、实数的有关概念和性质 实数的相反数、绝对值、倒数的意义与有理数的相反数、绝对值、倒数的意义是相同的，即有理数中的概念在实数范围内仍适用。 14、无理数的乘法、除法法则及计算 （1）， （2） 【典型例题】 例1. 下面是一首诗，又是一道数学题： 平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲； 出泥不染婷婷立，忽被强风吹一边； 渔人观看忙向前，花离原位两尺远； 能算诸君请解题，湖水如何知深浅。 思路引导：此题关键是将实际问题转化为数学问题，画出此问题相对应的图形，如图所示，观测可得，CD是水深，AD是莲花的长度，狂风把莲花吹倒后，BD的长就是莲花的长度，则所求问题就可以转化到直角三角形BCD中，由勾股定理可得三边关系，BD2=CD2+BC2，建立方程。 解：设x表示要测的水池深度CD， 则根据题意，AC=1/2，BC=2，根据勾股定理，得：BD2－x2=BC2 即（x+1/2）2－x2=22 所以x=15/4 所以所求的池水深是15/4尺。 例2. 如图所示，矩形纸片ABCD的边AB=10厘米，BC=6厘米，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰落在DC边上的点G处，求BE的长。 思路引导：由对折的条件找出图中相等的线段，再观察在图中包含的直角三角形，利用勾股定理求出图中未知的线段长或列出方程。 解：由对折知：AG=AB，GE=BE，在Rt△ADG中，AD=6厘米，AG=10