概率论第七章7-3.pptVIP

由 得 查表得 例5 研究机器A和机器B生产的钢管的内径，随机抽取机 器A生产的管子18只，测得样本方差 s12=0.34mm2;抽取 机器B生产的管子13只，测得样本方差 s12=0.29mm2。 设两个样本独立，且由机器A和机器B生产的钢管的内径 分别服从正态分布 试求方差之比 的置信水平为0.9的置信区间。 解、 现在 解、 现在 §7.4 区间估计 引例 已知 X ~ N ( ? ,1), 点估计只是给出了待估参数或参数函数的值是多少，但无法回答例如估计误差有多大，在允许可信度范围之内最大估计误差是多少这样的问题。这正是区间估计所要解决的问题。 ? 的无偏、有效点估计为 随机变量 常数 区间估计就是将一个未知参数或参数函数值估在一个区间范围之内，例如一个人的年龄，我们可以估计为30岁，这就是点估计；但也可估计其年龄在29岁到31岁之间，这种估计就是区间估计。从直观上说，后者给人的印象要比前者更为可信，因为后者已经把可能出现的误差考虑在内。 先看一个例子。 引例 某农作物的平均亩产量X（单位:kg）服从正态分 布N(μ,1002),今随机抽取100亩进行试验，观察其亩产量 值 ，基此算出 ，因此μ的点估计值 为500.由于抽样的随机性，μ的真值与 的值总有误差， 我们希望以95%的可信度估计 与μ的最大误差是多少？ 因为 ，从而存在c0，使得 因此这个c就是可允许的最大误差。 注意到事件 等价于 ，这就是说： 随机区间 覆盖未知数μ有95%的机会，习惯 上称此区间为μ的区间估计。 下面给出定义： 置信水平、置信区间 设总体的分布中含有一个参数?，对给定的?(0?1)， 如果由样本（X1，X2，…，Xn）确定两个统计量 ?1（ X1，X2，…，Xn ）， ?2（ X1，X2，…，Xn ）， 使得P{?1 ? ?2}≥1- ?，则称随机区间（ ?1 ， ?2 ）为 参数?的置信水平为1- ?的置信区间。 ?1——置信下限 ?2——置信上限 1- ? ——置信水平 * 单侧置信区间 几点说明 1、参数?的置信水平为1-?的置信区间（ ?1， ?2）含义： 每一个样本确定一个区间，每个这样的区间要么包含 ?的真值，要么不包含?的真值。按伯努利大数定律， 在这么多的区间中，包含?真值的约占100（1-?）%，不 包含?真值的约占100?%。例如?=0.01，反复抽样1000 次，则得到1000个区间中不包含?真值的约仅为10个。 3、 ? 反映了估计的可靠度, ? 越小, 越可靠. ? 越小, 1- ? 越大, 估计的可靠度越高,但这时, θ2-θ1往往增大, 因而 估计精度降低. 2、 置信区间的长度 ，反映了估计精度 ， 越小, 估计精度越高. 求参数 置信区间 保 证 可靠性 先 提 高 精 度 再 处理“可靠性与精度关系”的原则 4、? 确定后, 置信区间 的选取方法不唯一, 常选置信区间的长度最小的一个. (一) 一个正态总体 X ~N ( ? ?? 2)的情形 置信区间常用公式 (1) 方差? 2已知, ? 的置信水平为1-α的置信区间 推导 通过一个例子推导结论，然后给出求置信区 间的具体做法。 得 ? 的置信水平为 的置信区间为 寻找一个样本的函数 它含有待估参数, 不含其它未知参数, 它的分布已知, 且分布不依赖于待估参数 (常由? 的点估计出发考虑 ). 例如 求置信区间的步骤 — 称为枢轴量 取枢轴量 给定置信度 1 ? ? ,定出常数 a , b ,使得 由 得到等价的不等式 得置信区间 例1 某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X 可以认为服从正态分布，从某天的产品中随机抽取6个， 测得直径为（单位：cm） 14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1 （1）试求该天产品的平均直径E(X)的矩估计值； （2）若已知总体的方差为0.06，试求该天平均直径E(X) 的置信置信水平分别为1-?=0.95；1-?=0.99的置信区间。 解 （1）由矩法估计得E(X)的点估计值为 续解 （2）由题设知X~N（?，0.06）,由公式得μ的置信区间为