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第五章 平均指标 一、学习目的与要求 通过对本章的学习，使读者明确平均指标的概念、特点和作用，掌握各种平均数的计算方法和应用条件，了解计算和应用平均数的原则，以及几种平均数的关系。 二、学习重点与难点 本章重点是算术平均数和调和平均数的计算。难点是众数和中位数的计算，以及由相对数或平均数求总体平均数时权数的选择。 三、授课时间 本章授课时间为6学时。 第一节 平均指标的基本内容 （一）平均指标的概念 同质总体某一标志在一定时间、地点、条件下所达到的一般水平，是总体的代表值，它描述分布数列的集中趋势。 如：足球队队员的平均身高、平均体重代表了该球队队员的身体素质水平；平均入球数代表了球队整体的技术水平。 （二）平均指标的特点 1、同质性 2、代表性 3、抽象性 （三）平均指标的作用 1、可以比较同类现象在不同单位、不同地区间的平均水平。 2、可以比较同类现象在不同时期的平均水平。 3、可用于研究事物之间的依存关系。 4、利用平均数还可以进行推算和预测。 （四）平均指标的种类 算术平均数 （数值平均数） 调和平均数 （数值平均数） 几何平均数 （数值平均数） 众数 （位置平均数） 中位数 （位置平均数） 第二节 算术平均数 （一）算术平均数的概念 算术平均数是总体各单位某一数量标志的平均数。 算术平均数=标志总量÷总体总量 （二）算术平均数与强度相对数的比较 1、概念不同。强度相对数是两个有联系而性质不同的总体对比而形成相对数指标。算术平均数是反映同质总体单位标志值一般水平的指标。 2、主要作用不同。强度相对数反映两不同总体现象形成的密度、强度。算术平均数反映同一现象在同一总体中的一般水平。 3、计算公式及内容不同。算术平均数分子、分母分别是同一总体的标志总量和总体单位数，分子、分母的元素具有一 一对应的关系，即分母每一个总体单位都在分子可找到与之对应的标志值，反之，分子每一个标志值都可以在分母中找到与之对应的总体单位。而强度相对数是两个总体现象之比，分子分母没有一一对应关系。 （三）算术平均数由于掌握的资料不同和计算上的复杂程度不同，可分为简单算术平均数和加权算术平均数。 1、简单算术平均法 计算公式： 其中：代表算术平均数，xi代表各单位标志值（变量值），n代表总体单位数（项数）。 采用条件：当统计资料未分组时可用简单算术平均法计算；如果是组距式资料,则要计算组中值作为代表标志值进行计算。 例：某公司下属各店职工按工龄分组情况 工龄 组中值x 人 数 f 一店 二店 三店 四店 五店 0~2年 1.0 1 1 1 1 7 2~5年 3.5 7 7 7 25 25 5~10年 7.5 25 25 1 3 6 10~20年 15.0 10 10 6 3 1 合计 — 4 28 100 20 20 平均工龄 — 6.75 6.75 6.75 10.325 3.425 2、加权算术平均法 计算公式： 其中：代表算术平均数，x 代表各单位标志值（变量值），f 代表各组单位数（项数）。 一、二、三店人数相差很远，但平均工龄相等。 四、五店人数相等，但平均工龄相差很大。 结论：平均数水平高低受两个因素的影响： （1）变量 x （2）权数 f，绝对权数表现为次数、频数，相对 权数表现为频率。 （四）算术平均数的若干数学性质 1、平均数与总体单位数的积等于标志总量 2、若每个变量值 X 加减一任意常数a，则平均数也增减一个a。 3、若每个变量值 X乘以一任意常数a，则平均数也乘以一个a。 4、若每个变量值 X除以一任意常数a，则平均数也除以一个a。 5、各个变量值X与算术平均数的离差和为零。 6、各个变量值X与算术平均数的离差平方和为最小值。 （五）交替标志平均数 1、概念：交替标志又称是非标志，它是一个只有两种答案的标志。如：性别只有男、女；一批产品只有合格品、不合格品等就可用是非标志来反映。 2、表示形式： 1：具有某种属性的单位标志值。 0：不具有某种属性的单位标志值。 N：全部总体单位数。 N1：具有某种属性的总体单位数。 N2：不具有某种属性的总体单位数。 P= N1 /N：具有某种属性的单位数所占的比重。 Q= N2 /N：不具有某种属性的单位数所占的比重。 其中：P+Q=1 3、平均数 第三节 调和平均数 ? ???????? （一）调和平均数的概念及计算方法 ???????? 调和平均数又称倒数平均数，是变量倒数的算术平均数的倒数。 ????????