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球的性质总结 1. 球的概念与性质： （1）定义：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球。 球的基本元素有：球心、半径、直径。 （2）截面性质： 球心和截面圆心的连线垂直于截面； 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系：，（计算公式） （3）球的截面是圆面： 球的大圆：球面被经过球心的平面截得的圆。 球的小圆：球面被不经过球心的截面截得的圆。 （4）球面距离：在球面上，经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度叫做两点的球面距离。 2. 面积、体积计算公式： （1），由此变形式，可将球体积记为以球心为锥顶，球面为底面的锥体积； （2）球面面积等于与之等底等高的圆柱侧面积；等于与之等底等高的圆柱全面积的。 3. “地球”的知识及方法： （1）经线与经度： 地球球面上从北极到南极的半个大圆叫做经线，规定经过英国格林威治天文台旧址的经线为0°经线。一个地方的经度是指经过当地经线的所在半平面和0°经线所在半平面之间的夹角的度数，以0°经线为基准，向东度量的为东经，向西度量的为西经。如东经30°，西经60°等。 （2）纬线与纬度： 与地轴（通过北极和南极的直线）垂直的平面截地球球面所得的圆叫做纬线，其中大圆叫做赤道。一个地方的纬度是指当地与球心的连线和地球赤道平面之间所成的角的度数，赤道为0°纬线；以赤道为基准，向北度量为北纬，向南度量为南纬。如北纬25°，南纬23.5°等。 （3）如何求两点间的球面距离： 基本步骤： ①计算线段AB的长度； ②计算A、B到球心O的张角； ③计算球大圆在A、B两点间所夹的劣弧长。 例1. 已知倒立的圆锥形容器的轴截面是一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半经为r的一个球，此时，水面恰好与球相切，求取出球后水面的高度。 解：如图所示，圆锥轴截面为正三角形ABP，设球心为O，PC为圆锥的高，取出球后，水面为EF，其高度为PH，连结OC、OA。 则 ∴ ∵。 ∵， ∴ 又∵ ∴。 故取出球后水面高为。 例2. 在北纬45°的纬度圈上有A、B两点，它们分别在东经70°与东经160°的经度圈上，设地球的半径为R，求A、B两点的球面距离。 分析：要求A、B两点间球面距离，要把它放到△AOB中去分析，只要求得∠AOB的度数，AB的长度，就可求球面距离。 解：设北纬45°圈的圆心为O，地球中心 为O，则∠AOB=160°－70°=90° ∠OBO=45°，OB=R ∴ 则 ∴ 故A、B两点间球面的距离为。 例3. 已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？ 解：下图为轴截面，令圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，则即， ∵ 取等号时，内接圆柱底面半径为，高为。 例4. 球O的截面BCD把球面面积分成1：3两部分，BC是截面圆的直径，D是圆周上一点，CA是球O的直径。 （1）求证：平面ABD⊥平面ADC （2）如果球半径为，D分为两部分，且，求AC与BD所成的角和距离。 （3）如果，求二面角B—AC—D的大小。 （1）证明：∵CA是球O的直径，D为球面上一点， ∴ADC在一球大圆上， ∴CD⊥AD，又BC是截面圆的直径， ∴CD⊥BD ∴CD⊥平面ABD 又∵CD平面ACD， ∴平面ABD⊥平面BDC。 （2）解：如图，过C点，作CG∥BD，交球面于G点，则AC与CG所夹的锐角（或直角）就是异面直线AC与BD所成的角，连结AG，则∠AGC=90°。 ∵ ∴∠DBC=60°，BD∥CG，∴∠BCG=60° 又平面BDC把球面分成1：3两部分， ∴ ∴∠ACB=30°，由cos∠ACG=cos∠ACB·cos∠BCG= ∴∠ACG ∵BD∥CG，则BD∥平面AGC ∴AC与BD的距离就是BD与平面AGC的距离。 ∵平面AGC⊥平面ABG，高线为AG，过B作BM⊥AG于M，则BM就是要求的BD与AC的距离， ∴ （3