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第二章 圆锥曲线与方程 单元测试 一、选择题 1．椭圆的两焦点之间的距离为（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 2．椭圆的两个焦点为，过作垂直于轴的直线与椭圆相交，一个交点为，则等于（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．4 3．双曲线的焦距是（　　） Ａ．8 Ｂ．4 Ｃ． Ｄ．与有关 4．焦点为且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 5．抛物线的焦点在轴上，抛物线上的点到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 6．焦点在直线上的抛物线的标准方程为（　　） Ａ． 或 Ｂ．或 Ｃ．或 Ｄ．或 7．椭圆的一个焦点为，则等于（　　） Ａ．1 Ｂ．或1 Ｃ． Ｄ． 8．若椭圆的短轴为，它的一个焦点为，则满足为等边三角形的椭圆的离心率是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 9．以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆的方程是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 10．经过双曲线的右焦点且斜率为2的直线被双曲线截得的线段的长是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 11．一个动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则动圆必过定点（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 12．已知抛物线的焦点和点为抛物线上一点，则的最小值是（　　） Ａ． Ｂ．12 Ｃ．9 Ｄ．6 三、填空题 13．已知椭圆上一点与椭圆的两个焦点连线的夹角为直角，则　　　　　． 14．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率为　　　　　． 15．圆锥曲线内容体现出解析几何的本质是　　　　　． 16．当以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1时，椭圆长轴的最小值为　　　　． 三、解答题 17．若椭圆的对称轴在坐标轴上，两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个顶点，且焦点到同侧长轴端点距离为，求椭圆的方程． 18．椭圆的离心率为，椭圆与直线相交于点，且，求椭圆的方程． 19．如图1，椭圆的上顶点为，左顶点为为右焦点，离心率，过作平行于的直线交椭圆于两点，作平行四边形，求证：在此椭圆上． 20．已知双曲线与椭圆有相同的焦点且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程． 21．抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的交点为．求抛物线与双曲线的方程． 22．某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成，尺寸如图2所示，某卡车载一集装箱，箱宽3m，车与箱共高4m，此车能否通过此隧道？请说明理由． 答案： 一、选择题 CCADDA BDDBCC 二、填空题 13. 48 14. 或 15. 用代数方法研究图形的几何性质 16. 三、解答题 17． 答案：解：设椭圆方程， 由椭圆的对称性和正方形的对称性可知：正方形被椭圆的对称轴分割成了4个全等的等腰直角三角形，因此（为焦距）． 由题意得解得所求椭圆的方程为或． 18．解：，则． 由，得． 由消去，得． 由根与系数关系，得，． ， 即，解得，则． 所以椭圆的方程为． 19．解：椭圆焦点，，直线的方程为， 代入椭圆方程， 得． 设，则， 中点的坐标为． ． ，． 将点的坐标代入椭圆方程满足， 点在椭圆上． 20． 解：可以求得椭圆的焦点为， 故可设双曲线方程为， 且，则． 由已知条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4， 可得两交点的坐标为， 点在双曲线上，即． 解方程组得 所以双曲线方程为． 21．解：由题意知，抛物线焦点在轴上，开口方向向右，可设抛物线方程为， 将交点代入得， 故抛物线方程为，焦点坐标为， 这也是双曲线的一个焦点，则． 又点也在双曲线上， 因此有． 又，因此可以解得， 因此，双曲线的方程为． 22．解：取抛物线顶点为原点，水平向右为轴正方向建立直角 坐标系，设抛物线方程为， 当时，，即取抛物线与矩形的结合点， 代入，得，则， 故抛物线方程为． 已知集装箱的宽为3m，取， 则． 而隧道高为5m，． 所以卡车可以通过此隧道． 第二章 圆锥曲线与方程 知识要点 1、平面内与两个定点，的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹称为椭圆． 即：。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 且 且 顶点 、 、 、 、 轴长 短轴的长 长轴的长 焦点 、 、 焦距 对称性 关于轴、轴、原点对称 离心率 3、平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．即：。 这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线