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第3节 概率的公理化定义及其性质 定义3.1 设E为随机试验,Ω是它的样本空间，F是Ω的一些子集所组成的集合族。如果F满足如下条件： 则称集类F为s-代数，称F中的元素为事件，Ω为必然事件，空集f为不可能事件，(Ω, F)为可测 空间. 柯尔莫哥洛夫, 1933年 前苏联著名数学家，现代概率论开创者 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 例1. F={f, Ω}为s-代数，这是最小的为s-代数. 例2.设A ?Ω为任意集合，则 F={f, A , ā,Ω}为s-代数. 例3.设Ω为任意有限集,则 F=2Ω={Ω的子集}为s-代数. 例4.设Ω为任意的集合,则 F=2Ω={Ω的子集}为s-代数. 例5.设Ω为实数限集, 如果F是由所有的有界半闭区间 生成的为s-代数.则称F为Borel s-代数， F中的元素叫做Borel 集. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 可测空间(Ω, F)具有以下性质 证明从略 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定义3.2 设(Ω，F)是一个可测空间，对每一集 A ∈ F，定义实值集函数P(A)，若它满足如下三个条件： (1)非负性条件：对每一集A ∈ F,都有 0≤P(A)≤1; (2)规范性条件：P(Ω)=1; (3)可列可加性条件: 设Ai ∈ F, i=1,2,…,而且 AiAj=?, i≠j, i, j=1, 2,…,有 则称集合函数P(·)为(Ω，F)上的概率，P(A)为事件A的概率，(Ω,F,P )为一个概率空间. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 性质1. P(?)=0. 概率的性质 于是由可列可加性得 又由P(?)≥0得, P(?)=0 证明:设An=?(n=1,2,…),则, 且对于 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 证明 令An+1=An+2=…=?,则由可列可加性 及P(?)=0得 性质2. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 即 性质3. 对于任一事件A,有 证明 因为 且 ， 因此有 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 证明 由A ? B知B=A∪(B-A),且A(B-A)=?, 性质4 设A,B是两个事件,若A ? B,则有 P(B-A)=P(B)-P(A) 推论 若A ? B，则P(B)≥P(A) 证明 由P(B)=P(A)+P(B-A)和P(B-A)≥0 知 P(B)≥P(A) 因此由概率的有限可加性得 P(B)=P(A)+P(B-A) 从而有 P(B-A)=P(B)-P(A) Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 证明 因为A-B=A-AB,且AB ? A 故 推论