第七节 正弦、余弦定理的应用.pptx

课标版 文数第七节　正弦、余弦定理的应用?1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型:测量距离、高度、角度问题,计算面积问题等.2.实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角,目标视线在水平线①?的角叫仰角,目标视线在水平线②?的角叫俯角(如图①).教材研读上方下方?(2)方向角:一般指相对于正北或正南方向的水平锐角,如南偏东30°,北偏西45°等.(3)方位角从③?方向顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角,如点B的方位角为α(如图②).正北(4)坡角:坡面与水平面所成的锐二面角.(附:坡度(坡比):坡面的铅直高度与水平长度之比)3.解关于解三角形的应用题的一般步骤(1)理解题意,弄清问题的实际背景,明确已知与未知,理清量与量之间的关系;(2)根据题意画出示意图,将实际问题抽象成解三角形问题;(3)根据题意选用正弦定理或余弦定理进行求解;(4)将所得结论还原到实际问题,注意实际问题中有关单位、近似计算等的要求. 1.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α与β的关系为?(　????)A.αβ?B.α=β?C.α+β=90°?D.α+β=180°?答案????B　根据仰角和俯角的定义可知α=β.c2.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°的方向上,灯塔B在观察站C的南偏东40°的方向上,则灯塔A与灯塔B的距离为?(　????)?A.a km　　B.?a km　　C.?a km　　D.2a km?答案????B　在△ABC中,∠ACB=180°-(20°+40°)=120°,∵AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos 120°=a2+a2-2a2×?=3a2,∴AB=?a(km),故选B.3.在上题的条件下,灯塔A相对于灯塔B的方向为?(　????)A.北偏西5°?B.北偏西10°C.北偏西15°?D.北偏西20°?答案????B　易知∠B=∠A=30°,C在B的北偏西40°的方向上,又40°-30°=10°,故灯塔A相对于灯塔B的方向为北偏西10°.4.一船自西向东匀速航行,上午10时到达灯塔P的南偏西75°,距灯塔68海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则此船航行的速度为??海里/小时.c?答案??解析　如图,由题意知∠MPN=75°+45°=120°,∠PNM=45°.?在△PMN中,?=?,∴MN=68×?=34? 海里.又由M到N所用的时间为14-10=4小时,∴此船的航行速度v=?=??海里/小时.5.江岸边有一炮台高30 m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,在炮台顶部测得两条船的俯角分别为45°和60°,而且两条船分别与炮台底部所连的线成30°角,则两条船相距?m.?答案????10? c?解析　由题意画示意图,如图,OM=AOtan 45°=30(m),ON=AOtan 30°=?×30=10?(m),在△MON中,由余弦定理得,MN=?=?=10?(m).?测量距离问题典例1?(1)(2014四川,8,5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于?(　????)?A.240(?-1)m　　B.180(?-1)m C.120(?-1)m　　D.30(?+1)m考点突破(2)如图,某观测站C在城A的南偏西20°的方向上,从城A出发有一条走向为南偏东40°的公路,在C处观测到距离C处31 km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去,行驶了20 km后到达D处,测得C,D两处的距离为21 km,这时此车距离A城?千米.??答案????(1)C????(2)15c?解析????(1)如图,∠ACD=30°,∠ABD=75°,AD=60 m,在Rt△ACD中,CD=?=?=60? m,在Rt△ABD中,BD=?=?=?=60(2-?)m,∴BC=CD-BD=60?-60(2-?)=120(?-1)m.?(2)在△BCD中,BC=31 km,BD=20 km,CD=21 km,由余弦定理得cos∠BDC=?=?=-?,所以cos∠ADC=?,所以sin∠ADC=?.在△ACD中,CD=21 km,∠CAD=60°,所以sin∠ACD=sin(60°+∠ADC)=?×?+?×?=?.由正弦定理得?=?,所以AD=?×?=15 km.求解距离问题的一般步骤(1)画出示意图,将实际问题转化成三角形问题;(2)明确所求的距离在哪个三角形中,有几个已知元素;(3)使用正弦定理、余弦定理解三角形(对于解答题,应作答).1-1　设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧选定一点C,测出AC的距离为50 m,∠ACB