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一、极限的概念及计算 题型1 求解数列或函数的极限的题目 【解题思路】1.极限的运算性质；2.无穷小的性质以及等价无穷小代换；3.极限的存在准则及两个重要极限；4.利用变量替换求解极限；5.利用左右极限求解极限； 例1 当，求。 解：将分子、分母同乘以因子(1-x), 则　　原式=　　　　　　　　　　（当时，） 例2 求解：原式=　　　　 例3 求解：原式　　　　 例4 求解：令则故 　　原式= 例5 求解：当时，　　　　　　原式= 例6 求解： 　　　　　　因此 例7 求解：令t=x-1　　原式=　　　　=== 例8 求极限，（表示的取整函数）解：因　　当时，　　当时，　　且由夹逼定理得 例9 设，求解：显然，，且　　　　　　于是，当时，数列单调减少且有界。　　故数列收敛，设　　等式两端取极限，有　　解得（舍）　　故 例10 求解：解法讨论　　设，则　　　　（）　　原式=　　　　　　原式 例11 解：～　　=2　　原式== 例12 求解：　　=1 题型2 已知含参数的数列或函数的极限，求参数的值 【解题思路】1.首先观察极限的类型；2.利用0/0，或无穷比无穷的运算性质求解参数。 例13 已知，求.解：，a=-3　　 例14 已知，求常数.解：原极限==3　　 例15 设是多项式，且，，求.解：　　故可设　　　　从而，故 例16 确定常数 a,b,使.解：原式=　　　　故于是　　而=0 题型3　无穷小比较的题目 【解题思路】1.先将两个无穷小进行商的极限运算。2.根据极限值和无穷小比较的定义来判定无穷小的级别。 例17 已知时与是等价无穷小，求常数.解：　　　　原极限= 例18 当时，是x的几阶无穷小？解：设其为x的k阶无穷小，则　　　　因　　故 二、连续的概念、计算及证明题型1　判定函数间断点类型的题目 【解题思路】1.若函数表达式不明确应先求出函数的表达式。2.寻找函数的间断点。3.分别考察函数在间断点处的左右极限。3. 根据间断点的类型定义判别间断点的类型。 例19 求的间断点，并判断其他类型。解：　　是第一类间断点，且是跳跃间断点。 例20 求的间断点，并判别其类型。解：是间断点　　=　　为第一类可去间断点　　　　为第二类无穷间断点　　，　　为第一类跳跃间断点 例21 设函数有无穷间断点及可去间断点试确定常数a及b.解：为无穷间断点，所以　　==0　　　　为可去间断点，极限存在　　 例22 求函数的间断点并判断其类型。解：为间断点　　　所以，为第二类无穷间断点　　又　　　　所以，第一类跳跃间断点 题型2　函数连续性的题目 【解题思路】1.利用连续的极限定义判定函数的连续性。2.分段函数重点考察分段点处的连续性。3.要从左右极限两方面去考察函数的连续性。例23 设函数在内有定义，对任意实数x，y满足关系式且在点连续，试证：在内处处连续。证：任取设为增量，　　 　　 　　 　　 　　所以，在连续。 例24 讨论的连续性。解：将改写成　　 　　显然在内连续。　　当时，　　 　　 　　　　故在间断　　当时，　　 　　　　　　故在连续。　　在连续。 例25 设为连续函数，求解：　　　　　连续　　 时，　　即　　 连续　　 时，　　即　　解得， 题型3　利用闭区间上连续函数的性质证明题目 【解题思路】构造辅助函数，利用有界性及最大最小值定理，介值定理及零点定理进行证明。 例26 设在闭区间上连续，且，证明必有一点使得.证：令，则在上连续　　 　　讨论:若则 若则 若，则　　由零点定理知，　　即成立。　　综上,必有一点使成立。 例27 设在上连续，且恒为正。证明：对任意的必存在一点使.证：当时，取或则有　　当时，令　　则　　 　　 　　故由零点定理知，使　　即例28 设则至少存在一点使.证：　　 　　根据最值定理　　 　　 　　由于　　均有　　即　　故　　使