常微分方程第四章.docVIP

3.4 阶常系数线性齐次微分方程的解法 对于齐次方程（3.4）而言，只要能得到该方程的一个基本解组，即，个线性无关的解 我们就能得到方程（3.4）的通解.但是，对于一般的阶线性齐次微分方程，它的基本解组很难找到.可是，当齐次方程（3.4）的系数都是实常数时，求它的基本解组的问题却可以转化为求一个一元次多项式方程根的问题.如果能够求得这个一元次多项式方程的所有根，就能得到方程（3.4）的基本解组，从而也就得到了方程（3.4）的通解了. 形如 的方程（其中均为实常数），称为阶常系数线性微分方程.如果 ，即 称为阶常系数线性齐次微分方程.如果，称为阶常系数线性非齐次微分方程.本节主要介绍阶常系数线性齐次微分方程的解法，先研究一阶常系数线性齐次微分方程 这是一个变量可分离的方程，采用初等积分法，可求得该方程的一个非零解 . 因为方程是一阶的，所以基本解组中只含有一个解，即. 对于阶常系数线性齐次微分方程而言，我们猜想该方程也有形如 的解，其中是待定常数.为了确定，可以将代入方程 . 这时，需要计算的各阶导数 代入方程得： 因为，所以有 该一元次方程称为常系数线性微分方程的特征方程.该方程的根，称为线性微分方程的特征根. 是阶常系数线性齐次微分方程的解，当且仅当是线性微分方程的特征根.这样，求阶常系数线性齐次微分方程的解，就转化为求特征方程的特征根的问题了. 下面根据特征根的情况来讨论常系数线性齐次微分方程的解. 1、特征根互异 首先，假设特征方程有个互异的实根.这时，就可以得到相对应的个解 因为两两互异，所以 是个线性无关的解，即，它们就是齐次微分方程的基本解组，所以齐次微分方程的通解为 . 其中是任意常数. 例1 求方程 的通解. 解 特征方程为 即 从而，特征根为 基本解组为 因此方程的通解为 其中是任意常数. 例2 求方程 的通解及满足初始条件：的特解. 解 特征方程为 即 从而，特征根为 基本解组为 因此方程的通解为 其中是任意常数. 下面来求满足初始条件的特解，将初始条件代入 得 所以，因此所求的特解为 . 其次，互异的特征根中含有复根，即中有复数，不妨设（为实数）.这时，所对应的解为 . 由于为复数，应该如何定义呢？定义之后的求导与为实数时的求导计算是否相同呢？下面我们来解决这些问题. 给出复数的代数形式后，我们可以转化为三角形式，例如 其中. 同时，复数也可以写成指数形式，即 所以有 于是有 . 有了定义之后，我们来研究为复数与为实数时的求导计算是否相同. 性质1.无论是实数还是复数，总有 . 证明 当为实数时，上述结论是已知的.那么我们证明为复数的情形，设，为实数.因为 所以 . 由性质1，可得：无论是实数还是复数，总有 . 性质2.无论是实数还是复数，对任意实数，总有 . 证明 当为实数时，上述结论是已知的.那么我们证明为复数的情形，设，为实数.这时 所以 . 有了上述定义和性质，所对应的解为 是满足常系数线性齐次微分方程的.但是，这个解是复数形式的解，下面给出复解的概念，并把复解实数化. 定义3.4 函数都是实数函数，设复值函数 是常系数线性齐次微分方程 的解，则称复值函数为方程的复解. 定理3.11设复值函数 是常系数线性齐次微分方程 的解，则复值函数的实部和虚部都是方程的解. 证明 因为复值函数是常系数线性齐次微分方程 的解，所以有 即 即 所以 即，实部和虚部都是方程的解. 我们继续讨论互异特征根中含有复数的情形，如果互异特征根中含有一个复数，则该复数根对应一个复解 而该复解的实部函数和虚部函数都是齐次方程的解，即，该复根对应齐次方程的两个解.下面有两个问题需要解决： （1）一个复特征根对应两个解，则解的个数会多于个，怎么处理？ （2）将复解实数化后得到的解，与实特征根所对应的解组成的函数组是不是基本解组呢？ 因为方程 的系数全为实数，所以特征方程就是实系数的，因此，特征根出现复根时，必是共轭出现的.即，是特征根，则也是特征根.这样，复解是成对出现的，所对应的复解为 这时，它的实部函数和虚部函数同的所对应的复解的实部函数和虚部函数等价，因此，这一对共轭的特征根对应两个解.故解的个数不会增加，仍然是个.而且，实部函数和虚部函数可以由所对应的两个复解 和 来表示，即 下面来解决第二个问题，将复解实数化后与实特征