常数项级数的审敛法.docVIP

§11-2 常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 正项级数： (1) 显然，部分和数列单调增加： 1.收敛准则 定理1 正项级数收敛部分数列有界. 例1判别正项级数的收敛性 解 有上界 级数收敛 2.比较审敛法 定理2 设和都是正项级数，且若收敛, 则收敛；反之，若发散，则发散． 分析：，则的部分和 即有界,由TH1知收敛。反之，设发散，则必发散.因为若收敛,由上面已证结论知也收敛，与假设矛盾. 推论 设和都是正项级数,如果级数收敛，且存在自然数N，使当时有成立,则级数收敛；如果级数发散，且当时有成立, 则级数发散. 分析：因为级数的每一项同乘不为零的常数k，以及去掉级数前面的有限项不会影响级数的收敛性. 例2 讨论—级数 的收敛性，其中常数0． 解 设，则但调和级数发散，故级数(2)发散． 设，当时，有所以 ， 考虑级数 级数(3)的部分和 = 因 故级数(3)收敛．由推论1知，级数(3)当1时收敛. 总之：—级数(2)当1时发散，当1时收敛． 注：比较审敛法的：必须有参考级数。常用：几何级数，—级数（调级数） 例3 判别下列级数的敛散性. 发散, 原级数发散 收敛, 原级数收敛 练习 3.比较审敛法的极限形式 定理3 设和都是正项级数, 如果且级数收敛，则级数收敛； 如果或，且级数发散，则级数发散 例4　判别下列级数的敛散性. (1) 　发散 原级数发散 收敛 收敛 4．比值审敛法 定理4 设为正项级数，如果 则当级数收敛; (或)时级数发散; 时级数可能收敛也可能发散．（证略，可参考教材） 例5　判别下列级数的敛散性： (1) 级数收敛 (2) 级数发散 (3) 收敛, 发散 发散 5. 根值审敛法----柯西判别法 定理5 设为正项级数，如果则当时级数收敛，(或)时级数发散，时级数可能收敛也可能发散. （证略，可参考教材） 例6判别下列级数的敛散性 (1) 级数收敛 级数发散 6 根限审敛法（与—级数作比较） 定理6 设为正项级数， (1)如果则发散； 如果，而则级数收敛。 例7　判别下列级数的敛散性 （1） 发散. （2） 收敛 二、交错级数及其审敛法 交错级数： 或 其中都是正数． 定理7 (莱布尼兹定理) 如累交错级数满足条件: 则级数收敛，且其和,其余项的绝对值 分析：先证明S2n的极限存在,为此把S2n写成两种形式: 及 根据条件(1)知所有括弧中的差非负的.由第一种形式可见单调增，由第二种形式可见 ，因单调有界数列必有极限，当, 趋于一个极限s，且 再证明前项的和s2n+1的极限也是s,事实上，由条件(2)知因此 由于故收敛于和s ,且 最后 , 上式右端是一个交错级数，它满足收敛的两个条件，所以证毕． 例8　判别级数的敛散性。 解 ， 所以它是收敛的，且其和。 三、绝对收敛与条件收敛 任意项级数：它的各项为任意实数 绝对值级数： 为正项级数，如果收敛, 则称级数绝对收敛；如果级数收敛, 而发散，则称条件收敛。 如　　绝对收敛 条件收敛 定理8 如果级数绝对收敛, 则级数必定收敛. 分析：收敛，令显然且 由比较审敛法知收敛，从而也收敛. 而 所以收敛。 注意 上述定理的逆定理并不成立. TH8说明,对,若用正项级数的审敛法判定收敛。一般地，若发散不能断定也发散，但是若用比值审敛法或根值审敛法判定发散，则可断定发散，因为从这两个审敛法的证明知,上述两种审敛法判定发散的依据是不趋于0(故发散。 例9判别下列级数的敛散性： （1） 发散 条件收敛 绝对收敛 小结： 本节介绍了常数项级数(五个定义)的审敛法，要熟练掌握比较审敛法、比值审敛法、莱布尼兹判别法等(八个定理)，会利用级数收敛的必要条件判别发散级数。 4