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巧用旋转解题2008-11-23　 　　命题人：温州市实验中学 周利明 　　传统几何中，有许多旋转的例子，尤其是在正方形和等腰三角形中。因此旋转的方法是几何学习中必备的技巧，本文将介绍旋转方法的几种典型用法，与广大读者共同学习、交流。 　　1.利用旋转求角度的大小 　　例1：在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，满足PA=■、PB=2、PC=1求∠BPC的度数。 　　 　　 　　 　　 　　 　　分析：本题借助常规方法入手是比较困难的，虽然三条线段的长度是已知的，但是这三条线段不是三角形的三条边长，因此要得到角度的大小是不太容易的，因此我们可以借助旋转来分析问题，因为AC=BC，这就给我们利用旋转创造了条件，因此可以考虑将△APC绕点C逆时针旋转900，得△BPC，连接PP，通过三角形的边与角的关系分别求得∠CPP和∠PPB，就可得到∠BPC的大小。 　　解：由已知AC=BC，将 △APC绕点C逆时针旋转900，得△BPC，连接PP；由旋转可知：∠PCB=∠ACP，CP=CP，AP=BP； 　　∴∠PCB+∠PCB=∠ACB=900 　　∴△PCP是等腰直角三角形 　　∴∠CPP=∠CPP=450且PP=■，在△PPB中 　　∵PB2+PP2=22+(■)2 　　=6=(■)■=AP2=BP2， 　　∴△PPB是直角三角形，且∠PPB=900， 　　∴∠BPC=∠CPP+∠PPB=450+900=1350 　　例2：如图所示,正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为边AB、AD上的点，△APQ的周长为2，求∠PCQ的大小。 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　分析：本题在已知三角形的周长和正方形的边长的条件下求角度的大小是比较困难的，因为正方形的边长BC=DC，所以可以考虑将△PBC绕点C顺时针旋转90°，易证E、D、Q三点共线，通过证明△ECQ和△PCQ全等即可求得∠PCQ的大小。 　　解：∵ BC=DC， 　　∴将△PBC绕点C顺时针旋转90°得△EDC； 　　∴ ∠EDC=∠CBP=900 　　∠ECD=∠PCB， 　　ED=PB，CE=CP 　　∴∠ECD+∠DCQ+∠PCQ= 　　∠PCB+∠DCQ+∠PCQ=900 　　且∠EDC+∠CDA=1800， 　　∴ E、D、Q三点共线， 　　∵△APQ 的周长为2，即 AQ+AP+PQ=2， 　　又∵AQ+AP+PB+QD= 　　AB+AD=2 　　∴PQ=PB+DQ=ED+DQ=EQ， 　　在△ECQ和△PCQ中：CE=CPEQ=PQ，∴△ECQ≌△PCQCQ=CQ ∴∠PCQ=∠ECQ=450 　　练习1：P为正方形内一点，且PA=1，BP=2，PC=3，求∠APB的大小。 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　2.利用旋转求线段的长度 　　例3：如图，P是等边△ABC内一点，PA=2，PB=2■，PC=4，求BC的长。 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　分析：本题BC虽然和CP、BP同处一个三角形，但是要求其长还缺角度，因此直接从已知条件入手是比较困难的，但是我们只要适当运用旋转的方法，就可以使问题简单化；因为本题的△ABC是等边三角形，所以其三边是相等的，因此联想到将△ABC内部的某个三角形进行旋转也是比较容易的。 　　解：∵ △ABC是等边三角形， 　　∴将△BPA绕点B逆时针旋转60°，则BA与BC重合， 　　∴∠ABP=∠EBC且 BP=BE，PA=EC，连接EP； 　　∵∠ABP+∠CBP= 　　∠EBC+∠CBP=600 　　∴△EBP是等边三角形， 　　∴EP=PB=2■ 　　∵在△ECP中：EP2+EC2= 　　（2■）2+22=16=CP2 ； 　　∴∠CEP=900， 　　∵EC=■PC， 　　∴∠EPC=300 ， 　　∴∠BPC=900 　　∴BC=■=■=■=2■ 　　例4：如图，在梯形ABCD中，AD//BC（BCAD）， 　　∠D=90°，BC=CD=12， 　　∠ABE=45°，若AE=10。 　　求CE的长度。 　　分析：仔细分析就会发现本题所给的条件不易直接求得CE的长度，还需要做一些变化，经观察容易发现把△BCE绕点B顺时针旋转90°，可构成一个正方形，然后通过三角形全等，就找出边之间的关系。 　　解：把△BCE绕点B顺时针旋转90°得 △BGF，连接AG，易证A、G、F三点一线，且易知四边形BCDG为正方形。． 　　由旋转可得： 　　∠CBE=∠GBF，BE=BF 　　∵∠ABE=450 ， 　　∴∠ABF=∠ABG+∠GBF= 　　∠ABG+∠CBE=45