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华长生制作 SSH-NUDT * 高等数值分析 教材： 1、现代数值分析 李庆扬等 高教出版社 2、高等数值分析 蔡大用 白峰杉 清华出版 宋松和 (25)86205(H) 参考书 数值分析引论 易大义等 浙江大学出版 我校情况： ●学时：工科：36，数学：54 本课程校内外教学情况： 外校情况(清华、北航)： ●学时：72（含上机实习） ●有三个层次的课程：本、硕、博 国外情况(布朗大学、德州阿灵顿大学) ●学时：30 — 60 ●分多个层次 第一章 引论 一、什么是“数值分析”？“计算方法”？ 与算法的学问。 研究用计算工具得出数学问题数值解的方法 数值逼近、 数值积分、 线性方程组的解法、 非线性方程组的解法、 矩阵计算、 最优化理论及计算、 微分方程数值求解等等。 应用范围很广 自然科学研究常用的三种手段： 理论研究、 科学实验、 科学计算。 解决复杂数值计算问题的主要途径有: 1:用有限代替无限; 2:将非线性问题逐步线性化. 二、数值方法的研究对象与特点 以计算机为工具,求解各种数学模型,都要经历三个过程: 总体设计——模型的细化 详细设计——主要为算法设计 程序设计 数值方法研究的是将数学模型化为数值问题，并研究 求解数值问题的数值方法进而设计数值算法 数值问题： 输入数据与输出数据之间函数关系的 一个确定而无歧义的描述 即： 输入与输出的都是数值的数学问题 如求解线性方程组 求解二次方程 是数值问题 求解微分方程 不是数值问题 将其变成数值问题，即将其“离散化” “离散化”是将非数值问题的数学模型化为数值问题 的主要方法，这也是计算方法的任务之一 数值方法: 是指解数值问题的在计算机上 可执行的系列计算公式 研究数值方法的主要任务: 1.将计算机上不能执行的运算化为在计算机上可 执行的运算 2.针对所求解的数值问题研究在计算机上可执行 的且有效的计算公式 3.因为可能采用了近似等价运算,故要进行误差分析, 即数值问题的性态及数值方法的稳定性 数值算法 数值算法是指有步骤地完成解数值问题的过程. 数值算法有四个特点: 1.目的明确 算法必须有明确的目的,其条件和结论 均应有清楚的规定 2.定义精确 对算法的每一步都必须有精确的定义 3.可执行 算法中的每一步操作都是可执行的 4.步骤有限 算法必须在有限步内能够完成解题过程 三、误差分析 1、误差与误差的分类 近似计算的一般过程： 实际(具体)问题 建立数学模型(数学问题) 数值问题 数值结果 模型误差 在建立数学模型过程中,要将复杂的现 象抽象归结为数学模型,往往要忽略一 些次要因素的影响,而对问题作一些简 化,因此和实际问题有一定的区别. 观测误差 在建模和具体运算过程中所用的数据往 往是通过观察和测量得到的,由于精度的 限制,这些数据一般是近似的,即有误差 截断误差 由于计算机只能完成有限次算术运算和 逻辑运算,因此要将有些需用极限或无穷 过程进行的运算有限化,对无穷过程进行 截断,这就带来误差. 舍入误差 在数值计算过程中还会遇到无穷小数,因 计算机受到机器字长的限制,它所能表示 的数据只能有一定的有限位数,如按四舍 五入规则取有限位数,由此引起的误差 数值计算中的几种误差都是难以避免的.数学模型 一旦建立,进入具体计算时所考虑和分析的就是 截断误差和舍入误差 经过大量的运算之后,积累的总误差有时会大得惊人, 因此如何控制误差的传播也是数值方法的研究对象. 四、数值方法的稳定性与算法设计原则 例. 计算定积分 解: 误差放大 5千倍! 但如果利用递推公式 因此在计算公式选用及算法设计时,应注意以下原则 1. 四则运算中的稳定性问题 (1) 防止大数吃小数 这一类问题主要由计算机的位数引起 假如作一个有效数字为4位的连加运算 误差会放大 误差不会放大 而如果将小数放在前面计算 在作连加时,为防止大数吃小数,应从小到大进行相加, 如此,精度将得到适当改善.当然也可采取别的方法. (2) 作减法时应避免相近数相减 两个相近的数相减,会使有效数字的位数严重损失 由于 在算法设计中,若可能出现两个相近数相减,则改变 计算公式,如使用三角变换、有理化等等 例 解方程 解: 由中学知识韦达定理可知,方程的精确解为 而如果在字长为8,基底为10的计算机上利用求根公式 机器吃了 因此在计算机上 * * * * *