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自动控制原理 第2讲 第2章 自动控制系统的数学模型 1 数学模型概述 1.定义：描述系统的输入、输出变量以及系统内部各个变量之间关系的数学表达式就称为控制系统的数学模型。 控制系统数学模型是对实际物理系统的一种数学抽象 线性定常微分方程求解 应用拉氏变换值得注意的两点 1、拉氏变换是求解微分方程的简洁方法。可以将微分方程化为代数方程求解。 下面补充有关拉氏变换的内容 例 2：齿轮系 输入：n1(t)——转速 Z1——主动轮的齿数 输出：n2(t)——转速 Z2——从动轮的齿数 其它一些比例环节 （2）积分环节 （3）微分环节 例 2：测速发电机CF的数学描述 输 入： ?(t)——电动机D转子（与测速发电机同轴）的转角 输 出： uf(t)——测速发电机的电枢电压 运动方程： 传递函数： G（s）=Ks 其他微分环节举例 （6）振荡环节 例1 晶体管放大器 运动方程： 传递函数： 动态方程 传递函数 阶跃响应 积分环节举例 积分环节的传递函数为 T称为积分环节的时间常数 积分环节的输入输出曲线 特 点：输出量的变化速度和输入量成正比。 积分调节器 电容电路 动态方程 传递函数 方框图 微分环节举例 （3）微分环节 特点：动态过程中，输出量正比于输入量的变化速度。 G(s)=Ks 反馈口： 放大器： 电动机： 减速器： 绳 轮： 电 桥： 消去中间变量可得： 例6 X-Y 记录仪 2.2 非线性数学模型的线性化 在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度的非线性，如下图所示。 对非线性系统，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其直接求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必要。 如图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影响，近似为放大特性。对（b）和（c），当死区或间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影响，也近似为放大特性，如图中虚线所示。 对弱非线性或非本质非线性的线性化处理 小偏差线性化的概念（小偏差法，切线法，增量线性化法） 基于一种假设，就是在控制系统的整个调节过程中，各个元件的输入量和输出量只是在平衡点附近作微小变化。这一假设是符合许多控制系统实际工作情况的，因为对闭环控制系统而言，一有偏差就产生控制作用，来减小或消除偏差，所以各元件只能工作在平衡点附近。 因此，对于不太严重的非线性系统，可以在一定的工作范围内线性化处理。工程上常用的方法是将非线性函数在平衡点附近展开成泰勒级数，去掉高次项以得到线性函数。 线性化方法 在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y只在A附近变化，则可对A处的输出—输入关系函数按泰勒级数展开，由数学关系可知，当 x很小时，可用A处的切线方程代替曲线方程（非线性），即小偏差线性化。 平衡位置附近的小偏差线性化 Δ 微分方程在工作点处Taylor展开 1)单变量线性化：将一个非线性函数y= f（x），在其工作点展开成泰勒(Taylor)级数，然后略去二次以上的高阶项，得到线性化方程，用来代替原来的非线性函数。 忽略二阶以上各项，可写成 2) 若非线性函数由两个自变量，设输入 量为x1(t)和x2(t) ，输出量为y(t) ，系统正常工作点为y0＝ f(x10, x20) 。在工作点附近展开泰勒(Taylor)级数得 忽略二阶以上各项，可写成 经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性关系，从而使问题大大简化。但对于如图（d）所示为强非线性，只能采用非线性理论来分析。对于线性系统，可采用叠加原理来分析系统。 说明：运用小偏差线性化方法来处理非线性特性时，线性化方程的参量与系统工作点有关。工作点不同时，参量的数值也不同。 非线性系统微分方程的线性化（举例） 例1：已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化方程。 解. 在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数 取一次近似，且令 既有 效率太低！ 系统分析的步骤： 第二步：解微分方程，求被控制量在暂态过程中的时间函数xc(t) 第三步：根据xc(t)曲线 对系统进行分析和评价 第一步：写微分方程 微分方程 拉普拉斯变换 传递函数 微分方程求解方法 2、更重要的是：将微分方程---------复数s域的数学模型---------传递函数。由此发展了用传递函数的零极点分布、频率特性等设计系统的方法。 2.3 传递函数 (transfer function) 1. 传递函数的定义 在零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比。 “初始条件为零”有两方面含义： 指输入作用是