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中考动态几何题例析 李印 数学因运动不再枯燥，数学因运动而充满活力。课改后，中考数学卷中运动类题目的形式精彩纷呈，亮点诸多，点动、线动、图形动，呈现方式也是丰富多彩的。下面分类探析，供参考。 一、点动 例1 已知⊙O的半径为1，以O为原点，建立如图1所示的直角坐标系。有一个正方形ABCD，顶点B的坐标为（，0），顶点A在x轴上方，顶点D在⊙O上运动。（1）当点D运动到与点A、O在一条直线上时，CD与⊙O相切吗？如果相切，请说明理由，并求出OD所在直线对应的函数表达式；如果不相切也请说明理由。（2）设点D的横坐标为x，正方形ABCD的面积为S，求出S与x的函数关系式，并求出S的最大值和最小值。 图1 解：（1）CD与⊙O相切 ∵A、D、O在一条直线上，∠ADC=90° ∴∠CDO=90° ∴CD是⊙O的切线 CD与⊙O相切时，有两种情况： ①切点在第二象限时（如图2－（1）） 设正方形ABCD的边长为a，则 解得a=2或（舍去），过点D作DE⊥OB于E，则Rt△ODE~Rt△OBA ∴ ②切点在第四象限时，（如图2——（2）） 设正方形ABCD的边长为b，则 解得（舍去），或b=3 过点D作DF⊥OB于F，则Rt△ODF~Rt△OBA （2）如图2－（3），过点D作DG⊥OB于G，连结BD、OD，则 点评 本题把点动与几何论证、计算和数形结合联系起来组成压轴题，起点不高，但要求较全面，汇集了几何、代数、函数方面的知识，融入了动态几何的变和不变、数形结合、分类讨论的思想。 二、线动 例2 在△ABC中，AD是中线，O为AD的中点，直线l过O点，过A、B、C三点分别作直线l的垂线，垂足分别为G、E、F。当直线l绕O点旋转到与AD垂直时（图3－（1）），易证：BE＋CF=2AG。当直线l绕O点旋转到与AD不垂直时，在图3－（2）图3－（3）两种情况下，线段BE、CF、AG又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对图（3）的猜想给予证明。 解：猜想结果：图（2）结论为BE＋CF=2AG；图（3）结论为BE－CF=2AG。 证明：连结CE，连D作DQ⊥l于Q，交CE于H，易证△AOG≌△DOQ ∴AG=DQ ∵BE//DH//FC，BD=DC ∴BE=2DH，CF=2QH ∴BE－CF=2AG 点评 本题是一道几何经典题的改编题，在图3－（1）中，当l绕着O旋转到特殊位置时（AD⊥l）要证的结论很简单，只用到梯形的有关性质即可。但在图3－（2）、图3－（3）中，当直线l绕着O旋转到其它位置时的两种情况，出题人让学生去猜想、探索，充分发挥了学生的主观能动性，体现了观察、实验、猜想、验证、推理的思维过程，也体现了数学中的“变”与“不变”及由简单到复杂，由特殊到一般的辨证思想，是一道不可多得的好题。 三、图形动 例3 图4－（1）是边长分别为和3的两个等边三角形纸片ABC和叠放在一起（C与重合）。 （1）操作：固定△ABC，将△绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连结AD、BE、CE的延长线交AB于F（图4－（2））； 探究：在图4－（2）中，线段BE与AD之间在怎样的大小关系？试证明你的结论。 （2）操作：将图4－（2）中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图4－（3））； 探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。 （3）操作：图4－（1）中△固定，将△ABC移动，使顶点C落在的中点，边BC交于点M，边AC交于点N，设∠（图4－（4））； 探究：在图4－（4）中，线段N·的值是否随的变化而变化？如果没有变化，请你求出的值，如果有变化，请你说明理由。 解：（1）BE=AD 证明：∵△ABC和△DCE都是等边三角形 ∴∠ACB=∠DCE=60°，CA=CB，CE=CD ∴∠BCE=∠ACD ∴△BCE≌△ACD ∴BE=AD （2）在△CQT中 ∵∠TCQ=30°，∠RQP=60° ∴∠QTC=30° ∴∠QTC=∠TCQ ∴QT=QC=x ∴RT=3－x ∵∠RTS＋∠R=90° ∴∠RST=90° ∴ （3）的值不变 证明：∵∠ACB=60° ∴∠＋∠=120° ∵∠CN＋∠NC=120° ∴∠MC=∠CN ∵∠ ∴△ ∴ ∴ 点评 本题注重基础与能力并重，突出了“观察、操作、实验、猜想、探究”等方面的考查，具有明显的层次性，（1）、（3）两题体现了在旋转变化过程中“变中”有“不变”的辨