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中考中存在性问题 陕西　　张力凡 　　存在性问题是一种常见的探索性问题，也是中考中命题者用来考查同学们探索能力、猜想能力和归纳能力的常用题型之一，其解法的一般思路是假设存在，然后导出某个结论，如果该结论合理，则说明假设成立，其结论存在；如果该结论不合理，则说明假设错误，所探索的结论不存在．举例如下： 　　例1　（2006年诸暨市）如图1，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10． 点E在下底边BC上，点F在腰AB上． 　　（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积； 　　（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由； 　　（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由． 　　析解：（1）由已知条件得：梯形周长为24，高为4，面积为28． 　　过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K，则根据已知可求得：， 　　∴； 　　（2）存在．理由是： 　　由（1），得． 　　解得x1=7，x2=5（舍去）； 　　∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，此时BE=7； 　　（3）不存在．理由是： 　　假设存在，则S△BEF∶SAFECD=1∶2，（BE+BF）∶（AF+AD+CE＋DC）=1∶2， 　　则有． 　　整理，得：3x2－24x+70=0． 　　因为方程没有实数解，∴不存在这样的实数x． 　　即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分． 　　例2　（2006年烟台市）如图2，已知抛物线l1：y=x2-4的图象与x轴交于A、C两点． 　　（1）若抛物线l2与l1关于x轴对称，求l2的解析式； 　　（2）若点B是抛物线l1上的一动点（B不与A、C重合），以AC为对角线，A、B、C三点为顶点的平行四边形的第四个顶点为D，求证：点D在l2上； 　　（3）探索：当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图象上时，平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值？若存在，判断它是何种特殊平行四边形，并求出它的面积；若不存在，请说明理由． 　　析解：（1）设l2的解析式为y=a（x-h）2+k， 　　∵l1与x轴的交点A（-2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，-4），l1与l2关于x轴对称， 　　∴l2过A（-2，0），C（2，0），顶点坐标是（0，4）． 　　∴y=ax2+4．∴0=4a+4，得a=-1． 　　∴l2的解析式为y=-x2+4； 　　（2）设B（x1，y1），∵点B在l1上，∴B（x1，x12-4）， 　　∵四边形ABCD是平行四边形，A、C关于O对称， 　　∴B、D关于O对称，∴D（-x1，-x12+4）． 　　将D（-x1，-x12+4）的坐标代入l2：y=-x2+4，得 　　左边=右边，∴点D在l2上； 　　（3）设平行四边形ABCD的面积为S，则 　　， 　　①当点B在x轴上方时，y1＞0， 　　∴S=4y1，它是关于y1的正比例函数，且S随y1的增大而增大． 　　∴S既无最大值也无最小值； 　　②当点B在x轴下方时，-4≤y1＜0， 　　∴S=-4y1，它是关于y1的正比例函数，且S随y1的增大而减小． 　　∴当y1=-4时，S有最大值16，但没有最小值，此时B（0，-4）在y轴上，它的对称点D也在y轴上． 　　∴AC⊥BD． 　　∴平行四边形ABCD是菱形，此时S最大=16． 我们先来看下面一个作图题. 　　如图1，已知线段AB，在过A点的直线a上求作点P，使△ABP为等腰三角形. 　　 　　分析 由于腰和底不确定，所以要按等腰三角形的边分情况讨论；当AB是腰时，哪一个角是顶角不确定，所以再按顶角进一步分类讨论. 　　 　　请读者自行完成，满足条件的点有4个. 　　在近年来的中考题中，涉及等腰三角形的存在性问题很多，其类型及思考方法多为上述作图题(已知一边求作等腰三角形).请看下面两例. 　　例1 (07年龙岩市)如图2，抛物线y=ax2-5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC. 　　(1)求抛物线的对称轴； 　　(2)写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式； 　　(3)探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形.若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由. 　　解 (1)抛物线的对称轴 　　. 　　(2)由C(0,4)及得B(5,4)， 　　又AC=BC=5，OC=4，　　 　　∴OA=3. 　　∴A(-3,0). 　　把点A坐标代入y=ax2-5ax+4中， 　　解得