癌症的病毒治疗数学模型研究.doc

癌症的病毒治疗数学模型研究 摘要： 考虑具有复制能力的病毒注入肿瘤的癌症治疗过程，病毒影响肿瘤细胞，在肿瘤内繁殖，最终使细胞死亡。这一过程可以建立一个非线性的双曲－抛物微分方程的自由边值问题模型。自由边界为肿瘤的表面。本文用常微分方程模型来逼近原来的偏微分方程模型，考虑常微分方程模型常数解的稳定的充分必要条件，再试探讨用病毒治疗肿瘤收敛到零的充分必要条件，同时用李亚雅普夫第二方法证明了一个判断稳定性的定理。 关键词：肿瘤，具有复制能力的病毒，双曲－抛物模型，自由边界问题，稳定性。 Abstract： We consider a procedure for cancer therapy which consists of injecting replication-competent viruses into the tumor. The viruses infect adjacent tumor cells, replicate inside them, and eventually cause them death. This process is modeled as a free boundary problem for a nonlinear system of hyperbolic-parabolic differential equation,where the free boundary is the surface of the tumor. In this paper, We use the Ordinary Differential Equation to impent the Partial Differential Equation. The purpose of this paper is to explore the sufficient and necessary conditions of the stability of the constant solution of the ODE and convergence of R(t) to zero. we also prove a theorem to estimate the stability with the second method of liapunov. Key words：Tumor，replication-competent，hyperbolic-parabolic system，free boundary problems，stability. 1 引言 在过去几十年中，人们对基因治疗研究对癌症的遗传基础的理解有了巨大的进步，但是基因治疗的效果并没有达到人们预期的那么高，其主要原因是由于药物的传输问题。基因传输是用大分子作为工具来进行，而大分子通过对流和扩散来进行传输，但因为太大而不能在固体肿瘤内有效的扩散，又因为肿瘤内压力梯度是基本恒定的，这使得大分子的对流传输也很费劲。目前，有一种解决这一问题的方法是用具有可复制能力的病毒，首先把病毒注射到固体肿瘤内，病毒依附在肿瘤细胞上，然后进入细胞，并进行指数型的扩散，新复制产生的病毒颗粒获得释放，去感染邻近的癌症细胞，使癌症细胞死亡或衰退。这样连续的感染复制和癌症细胞的衰退，使得病毒分布在整个肿瘤内，最终使得肿瘤收敛到零。 在Oelschlager（1992）的数学论文[4]中，他建立了一个随机模型，模型说明病毒颗粒的空间普及和通过细胞的繁殖传播，Oelschlager（1992）论文的重点是极限定理的推导，用人口体积以一种特殊方法趋向于无穷的方法来证明随机模型收敛于一个确定的微分方程模型。在J.T. Wu et al[3]的论文中发展了一个连续的偏微分方程模型去描述受具有可复制能力的病毒影响的轴对称肿瘤的生长。在Friedman和陶有山（2003）[1]的论文中，讨论了控制肿瘤生长这一过程的偏微分方程模型的解的估计及使肿瘤收敛到零的条件。 下面先引进几个物理变量： x：未感染的肿瘤细胞的密度； y：受感染的肿瘤细胞的密度； n：坏死细胞的密度； v：自由病毒的密度； R(t)：t时刻的肿瘤半径， u：肿瘤内的速度场； 速度场是肿瘤细胞的扩散和死亡的结果。 我们假设问题是放射性均衡的，所以上面所有的未知变量都依赖于（r，t），其中r是到肿瘤中心的距离。 我们再假设整个肿瘤细胞的细胞密度是恒定的，因为病毒颗粒比肿瘤细胞小很多，所以忽略了病毒颗粒占用的体积。肿瘤体积被模型刻划成一个不可压缩的流体，其中的细胞通过对流运动来移动，其对流速度为u(r,t)。通过不同状态细胞的守恒定律，我们可以得到如下偏微分方程模型： 运动边