（精）高数课件3.ppt

This section is over.研究明白书上例题 请预习下一节Taylor formula 1.定义 连续曲线上下凸和上凸的分界点称为曲线的 拐点. 几何上 函数的单调性与曲线的凹凸性 四、曲线的拐点及其求法 (inflection point) 拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 拐点的第一充分条件 2. 拐点的求法 拐点也可能出现在二阶导数不存在的点处. 拐点的必要条件 具有二阶导数, 则点 (1) (2) 函数的单调性与曲线的凹凸性 是拐点的必要条件为 (或x0为二阶导数不存在的点) 例1 解(3steps) 拐点 拐点 不存在 定义域为 (1) (2) (3) 列表 函数的单调性与曲线的凹凸性 例2 解 函数的单调性与曲线的凹凸性 例4 证 函数的单调性与曲线的凹凸性 定义 极大值 (或极小值), 极大值与极小值统称为 极值. 极值点. 极小值(minimal value) 极大值(maximal value) 函数的极值与最大值最大值 二、函数的极值及其求法 1. 函数极值的定义 取得极值的点x0(自变量)称为 函数的极值与最大值最大值 极大值、极小值 是整体性的. 在一个区间内, 函数可能存在许多个极值, 最大值与最小值, 有的极小值可能大 于某个极大值. 只是一点附近的 是局部性的. 定理1(必要条件) 注 如, (1) 驻点. 可导函数的极值点 驻点却不一定是极值点. 但函数的 2. 极值的必要条件 函数的极值与最大值最大值 必是驻点, 费马引理 如果函数 可导, 处取得极值, 那么 极值, 极值点也可能是导数不存在的点. 如, 但 怎样从驻点中与导数不存在的点判断一点 单减的分界点, (2) 不可导. 是极小值点. 是不是极值点 若 x0 是连续函数 f(x) 单增、 则 x0必为极值点. 几何上, 函数的极值与最大值最大值 定理2(第一充分条件) 则 为极大值 则 不是极值. (极小值); 极值的一阶充分条件 函数的极值与最大值最大值 3. 极值的充分条件 一般求极值的步骤 求导数; 求驻点与不可导点; 求相应区间的导数符号,判别增减性; 求极值. (1) (2) (3) (4) 不是极值点 函数的极值与最大值最大值 例1 解 (1) (2) 驻点: 导数不存在的点: (3) 列表.求相应区间的导数符号,判别增减性, 确定极值点和极值. 函数的极值与最大值最大值 非极值 极小值 不存在 极大值 驻点: 导数不存在的点: 函数的极值与最大值最大值 单调增加区间: 单调减少区间: 定理3(第二充分条件) 证 极大值 (极小值). 极值的二阶充分条件 因此, 当 充分小时, 由极限的保号性 可见, 与 异号. 所以, 第一充分条件 对于驻点,有时还可以利用函数在该点处的二阶导数的正负号来判断极值点. 自己证极小值情形. 函数的极值与最大值最大值 例2 解 因为, 函数的极值与最大值最大值 注 仍用第一充分条件 函数的极值与最大值最大值 定理3(第二充分条件)不能 应用. 事实上, 可能有极大值, 也可能有极小值, 也可能没有极值. 如, 分别属于上述三种情况. 充分条件来判定有无极值; 对于只有驻点而没有导数不存在的点, 可用第二充分条件判断有无极值. 运用第一、第二充分条件需要注意: 若函数有导数不存在的点时, 则可用第一 (1) (2) 则 函数的极值与最大值最大值 函数的极值与最大值最大值 三、最大值最小值问题 1.最值的求法 (1) 其中最大(小)者 求连续函数 f (x)在闭区间[a, b]上的最大(小)值的方法: 函数的极值与最大值最大值 所有驻点和导数不存在的 区间端点的 就是 f (x) 最值必在端 (2) 点处达到. 点(即为极值嫌疑点)处的函数值和 函数值 f (a), f (b)比较, 在闭区间[a, b]上的最大(小)值. 当 f (x)在闭区间[a, b]上单调时, (3) **(4) 函数的极值与最大值最大值 若连续函数 f (x)在区间I内只有一个极值点 为极大 (小)值, 区间 I上的最大 (小)值. 对实际问题常常可事先断定最大(小)值必在 区间内部取得, 如果连续函数在区间内又仅有 一个极值嫌疑点, 那末这点处的函数值就是最 大(小)值. 例3 解 因 驻点: 导数不存在的点: 函数的极值与最大值最大值 仅需计算: 比较得: 因 是偶函数, 最大值为 最小值为 函数的极值与最大值最大值 驻点: 导数不存在的点: 实际问题求最值应注意 函数的极值与最大值最大值 (1) 建立目标函数; (2) 求最值; 若目标函数只有唯一驻点, 则该点的函数 值即为所求的最大(小)值. 例1 解 目标