概率论与数理统计实验_传染病传播问题.doc

传染病传播问题 传染病是人类共同的敌人. 小到流感、病毒性肝炎，大到霍乱、天花、艾滋病、非典型性肺炎等，危害着人们的健康，扰乱了人们正常的工作和生活，同时也侵蚀着人类大量的财富. 因此建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，预报传染病高峰的到来，及时控制传染病的传播是非常重要的事情，一直是各国政府和科学家关注的课题. 以下探讨几类传染病数学模型，对传染病相关的问题做出相应的回答. 注：（1）这里不从医学的角度分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播机理建立几种数学模型； （2）讨论问题的前提是假定在疾病的传播期内，所考察地区的总人数不变（总人数为N）. 解：假设 (1) t时刻健康者和病人在总人数中所占的比例分别为 另外, ； (2) 每个病人每天有效接触的平均人数为常数. 称日接触率，即当病人与健康者有效接触时，使健康者感染变成病人. 根据假设，有 故可得 （1） 得到 (2) 这个模型可以用于传染病的前期（对于传染较快的病），早期预报传染病高峰的到来. 1）~曲线表示传染病的传染曲线；~曲线表示传染病的上升率与时间的关系，医学上称为传染病曲线. 图 25.1 图 25.2 2) 求的一阶导数： 这里已经把 ??????????????代入到的表达式(2), 再求的二阶导数, 令，求出函数的极大值点, （3） 再代入的表达式，得 即已求出 时，达到最大值. 即传染病的上升率达到最大，这个时刻是. 说明：病人在这个时刻增加得最快，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门特别关注的时刻. 3）从（3）式可知与成反比. 日接触率标志着该地区的卫生水平，越小，卫生水平越高. 而越小，越大，传染病爆发的时刻就会越迟. 所以改善保健设施，采取有效的隔离措施，降低日接触率，可以推迟传染病高峰的到来. 4）由（2）式可知，当时，. 这就意味着所有的人都将被传染，处于生病状态. 这是不符合实际情况的. 事实上，传染病人经治疗后，或者痊愈，因而具有免疫力；或者死亡；所以最终病人的比例数应该趋于零，即当时，. 由此可见，需要重新修改模型假设，再建立数学模型. 感染--治愈 假设： 与感染模型相同； 与感染模型相同； (3) 病人可以治愈. 病人每天被治愈的人数占病人总数的比例，称为日治愈率. 病人治愈后仍可成为被感染的健康者，所以是这种传染病的平均传染期. 由假设（3）可知 故可得 （4） 变换得 （5） 此方程为贝努利方程， {{i [t]- }} 得到 当 当时，上式不是方程的解，应从原方程出发求解. （6） 可以利用分离变量法求解. {{i[t]-}} 即 为当时的解. 所以方程组的解为： （7） 分析： 定义： （8） 从和的定义可知，是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数. 1）作出曲线图，分析病人数的变化规律. 首先求出的极限，讨论极端情况. 因为 （9） 这里有两条曲线, 都是的情形. 上面一条是????????=0.25, =0.10时的图形; 下面一条是??????????=0.25, =0.10时的图形. 从图25.3可见, 虽然不同, 但在t趋于无穷时有相同的极限. 图 25.3 这是????????=0.10, =0.10时的曲线. 图25.4 2）接触数是一个阈值. 当时，病人比例越来越小，最终趋于零. 说明传染期内，每个病人有效接触的平均人数不超过一个人，最终导致使健康者变为病人的数量不超过病人数. 当时，病人比例的增减性取决于初始病人数的大小. 当时，. 从上式分析可知越大，越大，即：病人比例随的增加而增加. 相反，增大治愈率，减少接触率，（即：降低的取值）其实际意义就是要提高医疗水平和保健水平，可以降低传染病的传播，避免传染病的爆发. 3）特殊情况：当时，相当于的情况. 即：随着天数的无