《第一讲定解问题.ppt

第一章 绪论 第一节 引言 1. 数理方程发展历史、与其他学科的关系、研究现状 2. 数理方程及其定解问题的求解方法 经典解、数值解、广义解。 第二节 基本概念 微分方程：含有未知函数的导数或微分的等式 分类 按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分方程； 按未知函数及其导数的次数，分为线性微分方程和非线性微分方程；线性微分方程按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数微分方程，按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程； 按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、二阶和高阶微分方程。 微分方程的基本概念例题 第三节 三类典型方程的导出 一、 波动方程 均匀弦的微小横振动方程 推广 二、热传导方程 热传导方程 推广 三、 稳定场方程 设作用在该弧段上的外力密度函数为 ，那末该弧段 在时刻 所受沿轴方向的外力近似地等于 ，于是纵向方程为 推广: 三维情况--位移u成为空间变量x,y,z和时间t的函数, 忽略外力作用, 此时方程 二、热传导问题 所谓热传导就是由于物体内部温度分布的不均匀, 热量要从物体内温度较高的点处流向温度较低的点处. 热传导问题归结为求物体内部温度分布规律 推广1 情况：当考虑的问题是一根均匀细杆, 如果它的侧面绝热且在同一截面上的温度分布相同, 那么温度u只与x,t有关 方程：c ρut = k uxx+ F ut = a2 uxx+ f，f=F/(cρ) 推广2 情况：扩散问题 分析：浓度→温度u，扩散系数D→热传导系数k，质量守恒→能量守恒，扩散定律→热传导定律 方程：ut = D uxx+ F 标准方程：ut = a2 uxx+ F 推广3 情况：三维情况 分析：温度u成为空间变量x,y,z和时间t的函数 方程： 三、稳定场方程 当研究物理中各种现象(如振动、热传导、扩散)的稳定过程时, 由于表示该过程的物理量u不随时间t而变化, 因此 ut=0. 无外界作用情况拉普拉斯方程： Δu = utt + uyy + uzz = 0 有外界作用情况泊松方程： Δu = utt + uyy + uzz = f(x,y,z) 典型应用 静电场方程： Δu = -ρ/ε 稳定温度分布： Δu = - F/k 第四节、定解条件与定解问题 定解条件 初始条件 边界条件 定解问题 初值问题 边值问题 混合问题 2.边界条件 意义 ：反映特定环境对系统的影响 分类 ： 按条件中未知函数及其导数的次数分为线性边界条件和非线性边界条件； 线性边界条件中，按给出的是函数值或导数值分为第一、二、三类边界条件； 按所给数值是否为零分为齐次边界条件和非齐次边界条件。 边界条件举例 典型线性边界条件 一维弦振动 固定端 u |x=0 =0 受力端 ux|x=0 = F/ρ 一维杆振动 固定端 u |x=0 = 0 自由端 ux|x=0 = 0 受力端 ux|x=0 = F/YS 一维热传导 恒温端 u |x=0 = a 绝热端 ux|x=0 = 0 吸热端 ux|x=0 = F/k 定解问题 定解问题的组成 定解条件：描述具体对象的特殊性。 泛定方程：反映同一类现象的普遍性； 定解问题的分类 初值问题(Cauchy Problem)：无边界条件（环境对问题的影响可以忽略不计） 边值问题：无初始条件（历史对问题的影响可以忽略不计） 第一边值问题(Dirichlet Problem) 第二边值问题(Neumann Problem) 第三边值问题(Robin Problem) 混合问题：同时有边界条件和初始条件。 定解问题的适定性 适定性的意义 定解问题是实际问题的数学模型，适定性是对模型能否反映实际问题的一般要求。 适定性的内容 存在性 唯一性 稳定性 不适定问题举例 一般来说，方程的阶数对应于定解条件的个数； 条件多了，将会破坏解的存在性； 条件少了，将会破坏解的唯一性。 本章小结 B、热传导方程的边界条件 (1) 给定温度在边界上的值 S——给定区域v 的边界 (2) 绝热状态 (3)热交换状态 牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。 交换系数； 周围介质的温度 第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client