2012信号检讲稿2(随机过程).pptVIP

信号检测与估计 第一部分 随机信号分析 2.2.4.3 特征函数与原点矩的关系 信号检测与估计 第一部分 随机信号分析 信号检测与估计 第一部分 随机信号分析 信号检测与估计 第一部分 随机信号分析 信号检测与估计 第一部分 随机信号分析 信号检测与估计 第一部分 随机信号分析 信号检测与估计 第一部分 随机信号分析 1.2.2.3 随机变量的矩 随机变量X的 k 阶中心矩为 随机变量X和Y的 阶混合原点矩为 随机变量X和Y的 阶混合中心矩为 随机变量X的 k 阶原点矩为 信号检测与估计 第一部分 随机信号分析 由矩的定义可以看出，均值是一阶原点矩，方差是二阶中心矩。 叫作随机变量X和Y的协方差。 也叫随机变量X和Y的相关系数， 和 分别是随机变量X和Y的标准离差（标准差）。 随机变量X和Y的归一化协方差定义为 对于（1+1）阶混合中心矩 信号检测与估计 第一部分 随机信号分析 相关系数 具有下述特点： （2）如果随机变量X和Y统计独立，则有 如果 ，则称X和Y是不相关的。 时，说明随机变量X和Y之间呈线性关系， 当 时，说明随机变量X和Y不相关； 当 时，说明随机变量X和Y以一定概率大小而相关。 通常，X和Y统计独立，则它们互不相关； （3）如果E(XY)=0，则称随机变量X和Y是正交的。 （4）当 但即使X和Y互不相关，X和Y也不一定统计独立。 （1） 相关系数的大小说明一个随机变量依赖另一个随机变量的程度。 或称X和Y依概率线性相关； 信号检测与估计 第一部分 随机信号分析 协方差矩阵：对于二维随机变量 和 ，存在四种二阶中心矩 写成矩阵形式 和 的协方差 的方差 的方差 和 的协方差 信号检测与估计 第一部分 随机信号分析 把协方差矩阵推广到n 维随机变量的情形。 称矩阵 为n维随机变量 的协方差矩阵 ，存在二阶中心矩 对于n维随机变量 信号检测与估计 第一部分 随机信号分析 [例2.2.1] 已知高斯随机变量X的概率密度为 求它的数学期望和方差。 这里用到了积分公式 解：可求得 信号检测与估计 第一部分 随机信号分析 [例2.2.2]随机变量 ，其中X也为随机变量， 为常数， 且 , 求X与Y的相关系数。 另 一 方 面 所以有　　　　　　，并且 相关系数 表明X和Y是完全相关的。 , 则有 解：设 信号检测与估计 第一部分 随机信号分析 [例2.2.3] X和Y是互相独立的随机变量，求二者的相关系数。 因此 本例表明：两个独立的随机变量一定是不相关的。 解：由于X和Y互相独立，所以 信号检测与估计 第一部分 随机信号分析 ，说明X和Y的取值互相依赖（通过参变量 联系），因此X和Y不是相互独立的。 所以 ， 说明X和Y是不相关的。 解：由已知条件得 本例表明：相互不独立的两个随机变量可以是不相关的。 [例2.2.4] 二维随机变量（X，Y）满足 式中 是在 上均匀分布的随机变量，讨论X、Y的独立性和相关性。 但是， 信号检测与估计 第一部分 随机信号分析 2.2.3 随机变量的变换 首先考虑 为具有单值对应关系的变换，此时随机变量X落在 很小区间内的概率等于随机变量Y落在 很小区间的概率，即 于是变换后随机变量Y的概率密度为 考虑到概率密度函数是非负函数，并假定具有反函数关系 ， 所以有 （