中考压轴题：由比例线段产生的函数关系问题1.docVIP

例 2008年上海市长宁区中考模拟第25题 如图1，在△ABC中，∠C＝90°，点O为AB的中点，以O为坐标原点，x轴与AC平行，y轴与CB平行，建立直角坐标系，AC与y轴交于点M，BC与x轴交于点N． 将一把三角尺的直角顶点放在坐标原点O处，绕点O旋转三角尺，三角尺的两直角边分别交射线CA、射线BC于点P、Q ． （1）证明：△OMP∽△ONQ． （2）若∠A＝60°，AB＝4，设点P的横坐标为x， PQ的长为L，当点P在边AC上运动时，求L与x的函数关系式及定义域． （3）若∠A＝60°，AB＝4，当△PQC的面积为时，试求CP的长． 动感体验 请打开文件名“08长宁25”．拖动点P在从A向C慢慢运动，观察L随xP变化的图象可以体验到，在P从A到M的过程中，L越来越小；在P从M到C的过程中，L越来越大． 拖动点P运动，可以体验到，△POQ的大小虽然在变，但是形状不变． 拖动点P在射线CA上运动， 观察面积PQC的度量值， 可以体验到，有三个时刻，△PQC的面积为． 思路点拨 1．证明△OMP∽△ONQ可以得到丰富的结论，例如△POQ的三边比为2∶1∶，等，这些结论在第（2）、（3）题中都会用到． 2．用勾股定理可以写出OP关于x的关系式，再用△POQ的三边比可以求出PQ关于x的关系式． 3．用含有x的式子表示线段CQ的长是本题的难点和关键，不仅要分类讨论，而且要数形结合． 满分解答 （1）证明：∵∠MOP＋∠PON ＝ 90°，∠NOQ＋∠PON ＝ 90°， ∴∠MOP＝∠NOQ． 又∠OMP ＝∠ONQ＝90°， ∴△OMP∽△ONQ． （2）解：在Rt△ABC中， ∠A ＝ 60°，AB＝4，OM＝ ,ON＝1，所以． ∵△OMP∽△ONQ， ∴． 又∠POQ ＝∠BCA＝90°， ∴△POQ∽△BCQ． ∴． ∴． 定义域是－1≤x≤1． (3) 由△OMP∽△ONQ，知，所以． ①当点Q在BN上时，P在MC上，≥0，所以； ②当点Q在NC上时，P在CM的延长线上，＜0，所以． 因此，当点Q在BC上时，由， 得． 解得． 所以当CP＝1或3时, △CPQ的． ③如图2，当点Q在BC的延长线上时，， 于是． 解得x1＝ －1－,x2＝ －1＋(舍去) ． 所以当CP＝2＋时, △CPQ的面积是． 考点伸展 在第（3）题中，按点Q的位置进行分类，在分类计算以后，①和②的结果是相同的．如果在第（2）题中就这样分类的话，求L关于x的函数关系式，也可以在Rt△PCQ中用勾股定理求得． 例 2008年上海市上海市部分学校抽样测试第25题 已知：在正方形ABCD中，M是边BC的中点（如图1所示），E是边AB上的一个动点，MF⊥ME，交射线CD于点F，AB＝4，BE＝x，CF＝y． （1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域． （2）当点F在边CD上时，四边形AEFD的周长是否随点E的运动而发生变化？请说明理由． （3）当DF＝1时，求点A到直线EF的距离． 图1 （备用图） 动感体验 请打开文件名“08抽样25”．拖动点E在AB上运动，从图形中可以看到y随x的增大而减小，当E与B重合时，点F就不存在了．从图象可以体验到，y是x的反比例函数． 从图形中还可以体验到，MN既是直角△EFM的斜边上的中线，也是梯形EBCF的中位线，因此EF的长等于BE＋CF． 拖动点E在AB上运动，可以体验到，△AEF的边AE上的高是定值4．点A到直线EF的距离，就是△AEF的边EF上的高AH．双击按钮“DF＝1，CF＝3”和“DF＝1，CF＝5”可以准确显示DF＝1的两种情况． 思路点拨 1．证明△EBM∽△MCF，根据对应边成比例可以求出y关于x的函数解析式． 2．构造以EF为斜边的直角三角形，用勾股定理可以求得EF＝x＋y，在这个式子的变形过程中，要用到第（1）的结论变形xy＝4． 3．用几何法证明EF＝BE＋CF，做EF的中点N，MN既是直角△EFM的斜边上的中线，也是梯形EBCF的中位线，因此EF的长等于BE＋CF． 4．分类讨论DF＝1，按照F与D的位置关系，可以分为CF＝3和CF＝5两种情况． 5．点A到直线EF的距离，就是△AEF的边EF上的高AH，用面积法求AH． 满分解答 解：如图2， ∵∠EMB＋∠CMF＝90°， ∠CMF＋∠CFM＝90°， ∴∠EMB＝∠CFM． 又∠B＝∠C＝90°， ∴△EMB∽△MFC． ∴，即． 因此所求的函数解析式为． （） （2）不变．理由如下： 如图2，作EG⊥CD于点G，那么 ． 所以四边形AEFD的周长＝AE＋EF＋DF＋AD＝4?x＋x＋y＋4?y＋4＝12． （3）当DF＝1时，CF＝3或CF＝5．