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第二章 扭转 连接构件的实用计算 内容提要 一、扭转的力学模型 等直圆杆在两端受到一对大小相等，转向相反，作用面垂直于杆的轴线的力偶作用时，各横截面线绕轴线作相对转动，这种变形形式称为扭转，如图2-1所示。 二、外力偶矩计算 扭矩和扭矩图 Ⅰ、转动轴的功率、转速与外力偶矩间的关系为 (2—1) 式中，P为传递的功率，n为轴的转速。外力偶矩的转向在主动轮上与轴的的转向相同；在从动轮上与轴的转向相反。 Ⅱ、扭矩 受扭杆件横截面上分布内力的合力偶矩(内力偶矩)称为扭矩，用T表示。其值用截面法求出，正负的规定为：将扭矩按右手螺旋法则，用矢量表示，若矢量的指向离开截面时，扭矩为正；若矢量的指向指向截面时，扭矩为负(图2-2)。 Ⅲ、扭矩图 表示受扭杆件上扭矩的大小与横截面位置关系的图线，称为扭矩图。 三、薄壁圆筒的扭转 圆筒的壁厚?远小于其平均半径R0(图2-3a)，称为薄壁圆筒。 Ⅰ、切应变 单元体的直角改变量，称为切应变，用?表示，单位为rad(图2-3c) Ⅱ、横截面上的切应力为 (2—2) 式中，T为横截面上的扭矩，为平均半径，为壁厚。切应力的大小沿横截面均匀分布，其方向垂直于半径，指向和扭矩T的转向相同对应。如图2-3b所示。 Ⅲ、相对扭转角 在图2-3a中 得 (2—3) 式中，为B截面相对于A截面的扭转角，?为纵向倾斜的角度，R为外半径。 Ⅳ、剪切胡克定律 当 时 (2—4) 式中，G为材料的切变模量，材料的三个弹性常数E、v、G之间存在如下关系 (2—5) Ⅴ、切应力互等定理 单元体互相垂直截面上的切应力数值相等，而指向均对着或背离两截面的交线(图2-4) (2—6) 切应力互等定理，不仅适用于图2-4所示的纯剪切应力状态，对于任意应力状态均适用。 四、等直圆杆的扭转 Ⅰ、横截面上的切应力 1、几何方面 由平面假设(图2-5a)得 (a) 式中，为横截面上任一点到圆心的距离，为处的切应变，为扭转角沿杆长的变化率，同一横截面处为一常量，可见与成正比。 2、物理方面 由剪切胡克定律可知，当时，距离心为处的切应力为 (b) 的方向垂直于半径，与成正比，G为材料的切变模量。 3、静力学方面 由合力矩原理(图2-5b)得 (c) 令 (极惯性矩) 得 (2—7) 把(2-7)式代入(b)式，得 (2—8) 当时 (2—9) 式中，为扭转截面系数。 当扭矩为正时，实心圆杆和空心圆杆，横截面上切应力的分布规律如(图2-5b、c)所示。 实心圆杆(图2-5b) ， (2—10) 空心圆杆(图2-5c) ， (2—11) 式中， Ⅱ、纯剪切应力状态时斜截面上的应力 图2-6a所示纯剪切应力状态的斜截面上的应力为 (2—12) 式中，正应力仍以拉应力为正，压应力为负；切应力仍以使单元体有顺时针错动趋势为正，反之为负；角由x轴逆时针转至斜截面的外法线时，为正，反之为负。 (图2-6b)为(图2-6a)所示应力状态的应力圆。同(2-12)式或由应力圆可得，最大切应力和最大拉、压应力的大小及其作用面的方位如图2-5c所示。 低碳钢和铸铁圆试样扭转破坏时的断口分别如图2-7a、b所示，因为低碳钢的剪切强度低于拉压强度，其最大切应力又是发生在横截面上，故其破坏是从最外层沿横截面剪断的。铸铁的拉伸强度低于剪切和压缩强度，其破坏是由试样的最外层沿与试样轴线约成45°角的螺旋形曲面拉断的，因为该截面处?t,max=?。 Ⅲ、扭转角 由(2-7)式，得 相距为l的两横截面的扭转角为 (2—13) 此式为计算扭转角的一般公式。当扭矩T和极惯性矩，在l长范围内为x的连续函数，或二者之一为x的连续函数时，必须用(2-12)计算。 对于长为l，在两端作用外力偶矩的等直圆杆(图2-8)，两端截面的相对扭转角为 (2—14) 式中，称为扭转刚