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函数性质补充题 1、已知函数 判断函数在区间上的单调性，并加以证明； 如果关于的方程有四个不同的实数解，求实数的取值范围。 解(1),. …………………………2分 上单调递增函数。……………………4分 原方程即： ①恒为方程的一个解。……………………5分 ②当时方程有解，则 当时，方程无解； 当时，，方程有解。 设方程的两个根分别是则。 当时，方程有两个不等的负根；…………………7分 当时，方程有两个相等的负根；………………9分。 当时，方程有一个负根………………………11分 ③当时，方程有解，则 当时，方程无解； 当时，，方程有解。 设方程的两个根分别是 ， 当时，方程有一个正根， 当时，方程没有正根。……………………13分。 综上可得，当时，方程有四个不同的实数解。……16分。 2、已知函数f(x)的定义域为[0，1]，且同时满足：①f(1)＝3；②f(x)≥2对一切x∈[0，1]恒成立；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)－2， （Ⅰ）求函数f(x)的最大值和最小值； （Ⅱ）试比较与（n∈N）的大小； （Ⅲ）某同学发现：当（n∈N）时，有f(x)＜2x＋2，由此他提出猜想：对一切x∈(0，1]，都有f(x)＜2x＋2，请你判断此猜想是否正确，并说明理由． 解：（Ⅰ）设x1，x2∈[0，1]，x1＜x2，则x2－x1∈[0，1]． ∴f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]≥f(x2－x1)＋f(x1)－2． ∴f(x2)－f(x1)≥f(x2－x1)－2≥0．∴f(x1)≤f(x2)．　………………………… 2分 则当0≤x≤1时，f(0)≤f(x)≤f(1)．　………………………………………… 3分 在③中，令x1＝x2＝0，得f(0)≤2，由②得f(0)≥2，∴f(0)＝2．　……… 4分 ∴当x＝0时，f(x)取得最小值为2； 当x＝1时，f(x)取得最大值为3．　…………………………………………… 6分 （Ⅱ）在③中，令x1＝x2＝，得　…………………… 8分 ∴ 则．　…………………………………………………………… 11分 （Ⅲ）对x∈[0，1]，总存在n∈N，满足＜x≤．　…………………… 13分 由（Ⅰ）与（Ⅱ），得，又2x＋2＞2·＋2＝＋2． ∴f(x)＜x＋2． 综上所述，对任意x∈[0，1]．f(x)＜x＋2恒成立．　……………………… 16分 3、已知函数满足对任意，且，都有． （1）求实数的取值范围； （2）试讨论函数在区间 上的零点的个数； （3）对于给定的实数，有一个最小的负数，使得时，都成立，则当为何值时，最小，并求出的最小值． 解：（1）∵ ， ∵，∴的取值范围是． （2） 由（1）知： ，所以 ①当 时，，当时，总有， 故时，在上有一个零点； ②当时， ，即时，在上有两个零点。 综上当 时，在上有一个零点；时，在上有两个零点。 （3）∵， 显然，对称轴． ①当，即时，，且． 令，解得， 此时取较大的根，即， ∵，∴． ②当，即时，，且． 令，解得， 此时取较小的根，即， ∵，∴． 当且仅当时，取等号． ∵，∴当时，取得最小值－3． 4、已知函数f (x)对任意的实数x、y都有f (x+y)=f (x)+f (y)+2y(x+y)+1,且f (1)=1. (1)若x∈N*,试求f (x)的表达式； (2)若x∈N*且x≥2时，不等式f (x)≥(a+7)x－(a+10)恒成立，求实数a的取值范围. 解: (1)令y=1,则f (x+1)=f (x)+f (1)+2(x+1)+1 ∴f (x+1)－f (x)=2x+4 ∴当x∈N*时，有f (2)－f (1)=2×1+4 ， f (3)－f (2)=2×2+4,f (4)-f (3)=2×3+4. f (x)－f (x-1)=2(x-1)+4. 将上面各式相加得f (x)=x2+3x－3　　(x∈N*). (2)当x∈N*且x≥2时，f (x)=x2+3x－3.要使不等式f (x)≥(a+7)x－(a+10)恒成立. 即当x∈N*且x≥2时,不等式x2+3x－3≥(a+7)x－(a+10)恒成立, 即x2-4x+7≥a(x－1)恒成立 ∵x≥2,∴≥a恒成立. 又=(x－1)+－2≥2. (当且仅当x－1=即x=3时取“等号”