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第4章 矩阵的广义逆 The Pseudoinverse 矩阵的广义逆 概述： 矩阵的逆：A n ?n ，?B n ?n ，B A= A B =I, 则B=A –1 广义逆的目标：推广逆的概念 对一般的矩阵 A m ?n可建立部分逆的性质。 当矩阵A n ?n可逆时，广义逆与逆相一致。 应用广义逆可以作为方程组AX=b求解的理论分析工具。 § 4. 1 矩阵的左逆与右逆 一、满秩矩阵和单侧逆 1、左逆和右逆的定义 定义4. 1 (P . 93) A ?C m ?n，? B ?C n ?m，BA=In，则称矩阵B 为矩阵A 的左逆，记为 B = A ?C m ?n ，? C ?C n?m，AC=Im，则称矩阵C为矩阵A的右逆，记为C= 例题1 矩阵A的左逆：A= 2、左逆和右逆存在的条件 的存在性 直观分析 存在?矩阵A列满秩 = （AHA）–1AH 定理4. 1(P . 93) 设A ?C m?n ，下列条件等价 A左可逆 A的零空间N（A）={0}。 m?n，秩（A）=n，即矩阵A是列满秩的。 矩阵AH A可逆。 例题2 求矩阵A = 的左逆。 矩阵右逆的存在性 定理4 . 2 (P . 94)A ?C m ?n ，则下列条件等价： 矩阵A右可逆。 A的列空间R（A）=Cm n ? m ，秩（A）=m，A是行满秩的。 矩阵A AH 可逆 =AH（AAH）–1 讨论：可逆矩阵An ?n的左、右逆和逆的关系 可逆矩阵A的左、右逆就是矩阵A的逆A A–1=（AHA）–1AH =AH（AAH）–1 二、单侧逆和求解线性方程组AX=b 讨论 方程组AX=b 有解与左、右逆存在的关系。 借助于左、右逆求AX=b的形如X=Bb的解。 1、右可逆矩阵 定理4 ? 4 (P . 95) A ?C m ?n右可逆，则?b?Cm，AX=b有解。 X= b 是方程组AX=b的解。 二、单侧逆和求解线性方程组AX=b 2、左可逆矩阵 求解分析： 定理4? 3 (P . 94)设矩阵A ?C m ?n左可逆，B是矩阵A的任何一个左逆，则 AX=b有形如X=Bb的解的充要条件是 ( Im–AB )b=0 (¤) 当(¤)式成立时，方程组的解是惟一的，而且惟一解是X=（AHA）–1AH b 证明： 讨论：对任何满足式( ¤ ) 的左逆B，X=Bb都是方程组的 解，如何解释方程组的解是惟一的？ § 4. 2 广义逆矩阵 思想：用公理来定义广义逆。 一、减号广义逆 定义4 . 2 (P . 95) A ?C m ?n ，如果，?G ?C n ?m使得，AGA=A，则矩阵G为的A减号广义逆。或{1}逆。A的减号逆集合A{1}={A1–1，A2–1， ?， Ak–1} 例题1 A ?C n?n可逆，则A–1 ?A{1}； A单侧可逆，则A –1L?A{1}；A–1R?A{1}。 减号逆的求法：定理4.5（P . 95） 减号逆的性质：定理4.6 (P . 96) E.H. Moore and Roger Penrose 二、Moore-Penrose（M-P）广义逆 由Moore 1920年提出，1955年由Penrose独立研究和发展。 1、 定义4.3 (P . 98)设矩阵A ?C m ?n ，如果 ? G?C n ?m ，使得 AGA=A GAG=G （AG）H = AG （GA）H =GA 则称G为A的M-P广义逆，记为G=A+。 A–1 = A + ； A–1L = （AHA）–1AH=A +； A –1R =AH（AAH）–1=A + ； 若? A + ，则A + 是 A{1} 。 例题2 讨论原有的逆的概念和M-P广义逆的关系。 3、M-P广义逆的存在性及其求法 定理4.8（P . 99）任何矩阵都有M-P广义逆。 求法： 设A满秩分解A=BC， 则A + =CH （CCH ）–1（BH B）–1BH 。 （定理4.9）设A奇异值分解 ： ，则 2、M-P 广义逆的惟一性 定理4.9 (P . 98)如果A有M-P广义逆，则A的 M-P广义逆是惟一的。 例题1 求下列特殊矩阵