数学（江苏专用理科提高版）大一轮复习自主学习：第6课　函数的单调性Word版含解析.docxVIP

第6课　函数的单调性【自主学习】第6课 函数的单调性(本课时对应学生用书第12~13页)自主学习　回归教材1. (必修1P40练习8改编)下列说法中，正确的是　.(填序号)①若定义在R上的函数f(x)满足f(2)f(1)，则函数f(x)是R上的单调增函数；②若定义在R上的函数f(x)满足f(2)f(1)，则函数f(x)在R上不是单调减函数；③若定义在R上的函数f(x)在区间(-∞，0]上是单调增函数，在区间[0，+∞)上也是单调增函数，则函数在R上是单调增函数； ④若定义在R上的函数f(x)在区间(-∞，0]上是单调增函数，在区间(0，+∞)上也是单调增函数，则函数在R上是单调增函数.【答案】②③【解析】根据单调性的定义，结合函数图象分析.2. (必修1P55习题8改编)函数f(x)=ln(4+3x-x2)的单调减区间是　.【答案】【解析】函数f(x)的定义域是(-1，4)，令u(x)=-x2+3x+4，则u(x)=+的单调减区间为.因为e1，所以函数f(x)的单调减区间为.3. (必修1P44习题4改编)已知函数y=f(x)是定义在R上的单调减函数，则满足f(2-a2)f(a)的实数a的取值范围为　.【答案】(-2，1)【解析】由于f(x)在R上是单调减函数，所以由f(2-a2)f(a)，可得2-a2a，解得-2a1.4. (必修1P44习题2改编)若函数f(x)=x2-mx+3在[2，+∞)上是增函数，则实数m的取值范围为　.【答案】(-∞，4]【解析】依题意得≤2，解得m≤4.1. 函数单调性的定义(1)一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)(或都有f(x1)f(x2))，那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数).(2)如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数(或减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫作f(x)的单调区间；若函数是增函数，则称该区间为增区间；若函数为减函数，则称该区间为减区间.2. 复合函数的单调性对于函数y=f(u)和u=g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u=g(x)在区间(a，b)上和y=f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，那么复合函数y=f(g(x))在区间(a，b)上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减.3. 求函数单调区间或证明函数单调性的方法(1)函数单调性的定义法；(2)函数的图象法；(3)导函数法.【要点导学】要点导学　各个击破　函数单调性的判断与证明例1　(2015·南京一中模拟)已知函数f(x)=(x≠a).(1)若a=-2，求证：f(x)在(-∞，-2)上单调递增.(2)若a0且f(x)在(1，+∞)上单调递减，求实数a的取值范围.【思维引导】用定义法证明函数单调性：设元取值，作差变形，确定符号，得出结论；利用导数证明函数单调性：求导函数，确定符号，得出结论.【解答】(1)任取x1x2-2，则f(x1)-f(x2)=-=.因为(x1+2)(x2+2)0，x1-x20，所以f(x1)f(x2)，所以f(x)在(-∞，-2)上单调递增.(2)设1x1x2，则f(x1)-f(x2)=-=.因为a0，x2-x10，所以要使f(x1)-f(x2)0，只需(x1-a)(x2-a)0恒成立，所以a≤1.综上，实数a的取值范围是(0，1].【精要点评】判断函数的单调性或求函数的单调区间的一般方法有：(1)定义法；(2)图象观察法；(3)利用已知函数的单调性；(4)利用复合函数的单调性法则；(5)导数法.利用定义法的关键是对f(x1)-f(x2)的整理、化简、变形和符号的判断，其中变形的策略有因式分解、配方、分子(分母)有理化等.变式　已知函数f(x)=x+，求证：函数f(x)在区间(0，1]上是单调减函数.【解答】在区间(0，1]上任取x1，x2，且x1x2，则f(x1)-f(x2)=-=(x1-x2)+=.因为x1x2，所以x1-x20.又因为0x1x2≤1，所以x1x20，x1x2-10，所以f(x1)-f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，1]上是单调减函数.　结合函数单调性求参数范围例2　若函数f(x)=在区间(-∞，-1)上是减函数，求实数a的取值范围.【思维引导】利用函数的单调性求参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参.【解答】f(x)==a-，设x1x2-1，则f(x1)-f(x2)=-=-=.又函数f(x)在(-∞，-1)上是减函数，所以f(x1)-f(x2)0，由于x1x2-1，所以x1-x20，