高中数学必修5常考题型：等差数列的前n项和Word版含解析一.docVIP

等差数列的前n项和1．数列的前n项和 对于数列{an}，一般地称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. 2．等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用 公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 项和的有关计算 【例1　 (1)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a1＝，S2＝a3，则a2＝__________；Sn＝________. (2)在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n. (1)[解析]　设公差为d，则由S2＝a3得2a1＋d＝a1＋2d，所以d＝a1＝，故a2＝a1＋d＝1，Sn＝na1＋d＝. [答案]　1　 (2)[解]　由 得 解方程组，得或 类题通法a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解．这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用． 1．已知等差数列{an}． (1)a1＝，a15＝－，Sn＝－5，求n和d； (2)a1＝4，S8＝172，求a8和d. 解：a15＝＋(15－1)d＝－，d＝－. 又Sn＝na1＋·d＝－5， 解得n＝15，n＝－4(舍)． (2)由已知，得S8＝＝＝172， 解得a8＝39， 又a8＝4＋(8－1)d＝39，d＝5. 求通项公式 【例2　已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n2＋n＋2. (1)求{an}的通项公式； (2)判断{an}是否为等差数列？ [解]　(1)Sn＝－2n2＋n＋2， 当n≥2时，Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2 ＝－2n2＋5n－1， an＝Sn－Sn－1 ＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1) ＝－4n＋3. 又a1＝S1＝1，不满足an＝－4n＋3， 数列{an}的通项公式是 an＝ (2)由(1)知，当n≥2时， an＋1－an＝[－4(n＋1)＋3]－(－4n＋3)＝－4， 但a2－a1＝－5－1＝－6≠－4， {an}不满足等差数列的定义，{an}不是等差数列． 类题通法已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤： (1)当n＝1时，a1＝S1. (2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1. (3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1； 如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式要分段表示为an＝(如本例)． 2．已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求{an}的通项公式． (1)Sn＝2n2－3n； (2)Sn＝3n－2. 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2×12－3×1＝－1； 当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)＝2n2－7n＋5， 则an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－(2n2－7n＋5) ＝2n2－3n－2n2＋7n－5 ＝4n－5. 此时若n＝1，an＝4n－5＝4×1－5＝－1＝a1， 故an＝4n－5. (2)当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1； 当n≥2时，Sn－1＝3n－1－2， 则an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝3n－3n－1 ＝3·3n－1－3n－1＝2·3n－1. 此时若n＝1，an＝2·3n－1＝2·31－1＝2≠a1， 故an＝ 项和的性质 【例3　(1)在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝(　　) A．58　　　　　　 B．88 C．143 D．176 (2)等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，求S110. (1)[解析]　利用等差数列的性质及求和公式求解．因为{an}是等差数列，所以a1＋a11＝a4＋a8＝2a6＝16a6＝8，则该数列的前11项和为S11＝＝11a6＝88. [答案]　B (2)[解]　数列{an}为等差数列， S10，S20－S10，S30－S20，…，S110－S100也成等差数列． 设其公差为D，则S10＋(S20－S10)＋(S30－S20)＋…＋(S100－S90)＝S100， 即10S10＋×D＝S100＝10. 又S10＝100，代入上式，得D＝－22， S110－S100＝S10＋(11－1)×D＝100＋10×(－22)＝－120， S110＝－120＋S100＝－110. 类题通法等差数列的前n项和常用的性质 (1)等差数列的依次k项之和，Sk，S2k－S