三中西校-高二-空间向量及其运算.docVIP

第三章 复习课: 空间向量与立体几何（1） 教学目标 重点：能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系能用向量方法证明有关直线和平面关系能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α、β的法向量，时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量，的夹角是相等，还是互补． ． 用向量方法证明直线和平面位置关系用向量方法求异面直线所成的角，直线与平面所成的角、二面角一、【知识结构】 二、【知识梳理】 1．直线的方向向量和平面的法向量的概念 （1）直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．l是的一条垂线，则l的方向向量就是平面的一个法向量． 平面的法向量可利用方程组求出：设 是平面α内两不共线向量，为平面的法向量，则求法向量的方程组为 用向量证明空间中的平行关系设直线l1和l2的方向向量分别为和，则l1l2(或l1与l2重合) ∥． (2)设直线l的方向向量为，与平面共面的两个不共线向量和，则l或l?存在两个实数x，y，使＝x＋y 设直线l的方向向量为，平面的法向量为，则lα或lα?⊥． (4) 设平面α和β的法向量分别为和则αβ?∥． 3．用向量证明空间中的关系设直线l1和l2的方向向量分别为和则l1l2?⊥?＝0设直线l的方向向量为，平面的法向量为，则l?∥． (3)设平面和的法向量分别为和则?⊥，?＝0向量空间角(1)异面直线所成的角设异面直线l1，l2的方向向量分别为和则l1与l2的夹角θ满足cos θ＝线和平面所成的角设直线l的方向向量和平面的法向量分别为，则直线l与平面的夹角θ满足sin θ＝． (3)二面角的平面角 (i)如图，AB、CD是二面角α-l-β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝．如图，，分别是二面角α-l-β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos〈〉或cos θ＝－cos〈〉． 5．点到直线的距离的求法（了解） 如图，设为平面α的一条斜线段，为平面α的法向量，则到平面α的距离d＝就是斜线段在法向量方向上的正投影由 得距离公式：d＝． 已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________． 设 是平面内两不共线向量，为平面的法向量，则求的法向量的方程组为方向的单位向量为． 【解答】设平面ABC的法向量＝． 得 令z＝1，得∴＝，又 ∴平面ABC的单位法向量为＝．中含有一个自由未知数，若令z为自由未知量，给z任意赋一个非零的值都可以得到平面的一个法向量，这些向量是共线向量． 变式训练:１．已知平面过点，平面的法向量为，则下列点在内的是（　 ） A． 　　 B． 　 　 C． 　　 D． 答案：若点 在内，则,代入经验证答案A满足． 2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF分别是棱AB，BC的中点，试在棱BB1上找一点M，使得D1M⊥平面EFB1D1M⊥平面EFB1是平面EFB1的法向量即可，设正方体棱长为2，则， ，，，设， 则，，， 由D1M⊥平面EFB1， 解得： 所以当点M是BB1的中点时，满足D1M⊥平面EFB1和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点．求证：平面． 【分析】利用向量作为工具证明线面平行问题可以选择的方法较多，可以用共线向量定理，找平面内的与已知直线平行的直线；也可以利用共面向量定理证明直线的方向向量与平面内两个不共线的向量共面；还可以通过证明直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明直线与平面平行． 【证明一】记，则 ， ，共面． 又平面，∥平面． 【证明二】以,,为正交基底，建立空间直角坐标系，则，，，，,,，． ∴ ∵AM不在平面BDE内， ∴AM∥平面BDE． 【证明三】证明：以为正交基底，建立空间直角坐标系，则,，，． ∵ ∴，∴∥ ∵， ∴AM∥平面BDE． 【证明四】以,,为正交基底，建立空间直角坐标系，则，，，，,,，． 设平面BDE的法向量为，∴，∴， 令c=1，则a=，b=，，∴， ∵AM不在平面BDE内，∴AM∥平面BDE． 【点评】证法一用空间向量的线性运算，利用共面向量定理证明线面平行；证法二利用空间向量的直角坐标运算，得出，从而利用共面向量定理证明线面平行；证法三用空间向量的直角坐标运算，利用共线向量定理，找到平面内与AM平行的直线，从而证明出线面平行；证法四利用空间向量的直角坐标运算，通过证明直线AM的方向向量和平面的法向量垂直证明线面平行．这几种方法都是我们经常使用的通用方法． 变式训练：如图所示，平面PA