大学线性代数第1011讲.doc

第三章 线性空间与线性变换 §3.4线性空间、基、维数和坐标 一、线性空间的概念 1. 数域 定义 3.1.1 设 是一个数集。如果它满足 （1） （2）对 有 ， 就称为一个数域。 ， 实数域 ， 有理数域 ， 复数域 2. 线性空间的概念 定义 3.4.1 设是一个非空的集合，是一个数域。在其上定义两种运算，加法：对任意的，在中存在唯一的对应元素 ，称为 与的和，记为，及数乘： 对任意的和任意的，在中存在唯一的对应元素，称为与的数乘积，记为。如果他们满足以下8条规则： α + β = β + α (α + β ) + γ = α + ( β + γ ) 在中存在零元素，记为θ，使得对任意的 有 对每个，存在一个元素，使得 ，称为的负元素，记为 1α = α (kl)α = k(lα) (k + l)α =kα + lα k(α + β) = kα + kβ 就称为数域上的一个线性空间，其中是中的任意元素，是中的任意数，并称中的元素为向量。 例 3.4.1 数域上全体元向量的集合 对向量的加法及数与向量的数量乘法，构成上的线性空间（称为向量空间）。特别地，称为实向量空间；称为复向量空间；{}称为零空间。 例3.4.2 数域上全体矩阵的集合对矩阵的加法及数与矩阵的数量乘法，构成上的线性空间（称为矩阵空间）。 例3.1.2 设，则齐次线性方程组 的全部解向量的集合构成 上的线性空间，称之为齐次方程组 的解空间，也可称之为矩阵的零空间，记为。显然，。 例3.4.3 以数域中的数为系数的全体1元多项式的集合对多项式的加法及数与多项式的乘法，构成上的线性空间。特别地，由中次数小于的全体多项式，再添加零多项式构成的集合对多项式的加法及数与多项式的乘法，也构成上的线性空间（称为多项式空间）。 例 令 则 不构成线性空间。 例3.4.5 设是全体正实数的集合，是实数域。在中定义元素的加法“”及中的数与的元素的数量乘法“· ”： 其中，则关于运算“”和“· ”构成上的线性空间。 证明：如上定义的加法和数乘对是封闭的，下面只要验证他们满足线性空间定义的八条运算规则。 任取，则 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 满足八条规则，所以，关于运算“”和“· ”构成上的线性空间。 性质： (1) 零向量、负向量唯一 (2) (3) (4) 3．线性子空间 定义3.5.1 设是数域上的线性空间，是的一个非空子集。若对的两种线性运算也构成上的线性空间，则称是的线性子空间，简称子空间。 定理3.5.1 设是数域上的线性空间，W是V的非空子集。若W满足 对，都有 对，都有 则W是V的子空间。 例3.1.3 设是线性空间，则一定包含零向量 。同时，本身及 都是 的子空间，称它们为的平凡子空间。的其他子空间，如果还有的话，均称为非平凡子空间。 例3.1.4 令 问 和 是否构成 的子空间？ 定理3.1.1 设 是数域 上的线性空间， 是 中m个向量，则 的子集合 构成 的子空间，称为由向量组 生成的子空间，记为 。 例3.1.5 设 是齐次线性方程组的一个基础解系，则 。 例3.1.6 设 ，把 按列分块 则 是的子空间，称之为矩阵的列空间，记为 。 例 线性方程组 有解 。 例 设 ,∈，则 的充分必要条件为 {}≌{} 例 及其子空间均称为实向量空间。 例 设，是线性空间的两个子空间，则也是的子空间，称之为与的交空间，集合 也是的子空间，称之为与的和空间，记为 。 二、基、维数与坐标 1．基、维数 有限维线性空间、无限维线性空间 定义3.4.3 设 是数域 上的线性空间，。若 （1）线性无关； （2）中任一向量均可由 线性表出，即存在m个数 ，使得 则称 是 的一组基，称 m为 的维数，记为 维或 dim()。 例3.2.1 设是数域，在向量空间中考虑n元基本向量组 因为对任意 ，均有 且 线性无关，故 是向量空间 的一组基，称之为 的自然基。 例3.2.2 设，秩，则是 的子空间。任取齐次线性方程组 的一个基础解系 ，容易看出它们就是的一个基，因此 维[] = 多项式空间、矩阵空间的基与维数 (如何证明?) 定理3.2.1 设 ，则 维（）+维（）= n 例 求齐次线性方程组 的解空间的一组基和维数。 解 求得该方程组有基础解系: 因此，其解空间的一组基为，且其维数是3。 例 证明：