动力学中的临界问题与极值.docVIP

动力学中的临界问题与极值 在动力学问题中，常常会出现临界状态，对于此类问题的解法一般有以下三种方法。 一、极值问题 1、假设法 有些物理过程没有出现明显的临界问题的线索，但在变化过程中不一定出现临界状态，解答此类问题，一般用假设法，即假设出现某种临界状态，物体的受力情况及运动状态与题设是否相符，最后再根据实际情况进行处理。 例1 一斜面放在水平地面上，倾角，一个质量为0.2kg的小球用细绳吊在斜面顶端，如图1所示。斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，不计斜面与水平面的摩擦，当斜面以10m/s2的加速度向右运动时，求细绳的拉力及斜面对小球的弹力。（g取10m/s2） 解析： 斜面由静止向右加速运动过程中，斜面对小球的支持力将会随着a的增大而减小，当a较小时，小球受到三个力作用，此时细绳平行于斜面；当a增大时，斜面对小球的支持力将会减少，当a增大到某一值时，斜面对小球的支持力为零；若a继续增大，小球将会“飞离”斜面，此时绳与水平方向的夹角将会大于θ角。而题中给出的斜面向右的加速度a=10m/s2，到底属于上述哪一种情况，必须先假定小球能够脱离斜面，然后求出小球刚刚脱离斜面的临界加速度才能断定。 设小球刚刚脱离斜面时斜面向右的加速度为a0，此时斜面对小球的支持力恰好为零，小球只受到重力和细绳的拉力，且细绳仍然与斜面平行。对小球受力分析如图2所示。易知 代入数据解得 因为＞，所以小球已离开斜面，斜面的支持力。 同理，由受力分析可知，细绳的拉力为： 此时细绳拉力T与水平方向的夹角为： 例2 如图3所示，质量为m=1kg的物块放在倾角为的斜面体上，斜面质量为，斜面与物块间的动摩擦因数为，地面光滑，现对斜面体施一水平推力F，要使物体m相对斜面静止，试确定推力F的取值范围。（） 图3 图4 解析：（1）设物块处于相对斜面向下滑动的临界状态时的推力为F1，此时物块受力如图4所示，取加速度的方向为x轴正方向。 对物块分析，在水平方向有 竖直方向有 对整体有 代入数值得 （2）设物块处于相对斜面向上滑动的临界状态时的推力为F2，对物块分析，在水平方向有，竖直方向有，对整体有，代入数值得。 综上所述可知推力F的取值范围为： 2、极限法 如果题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等关键词时，一般隐藏着临界问题，处理这类问题时，常常把物理问题或过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显露出来，以便解题。 例3 如图5所示，质量均为M的两个木块A、B在水平力F的作用下，一起沿光滑的水平面运动，A与B的接触面光滑，且与水平面的夹角为60°，求使A与B一起运动时的水平力F的范围。 解析： 当水平推力F很小时，A与B一起做匀加速运动，当F较大时，B对A的弹力FN竖直向上的分力等于A的重力时，地面对A的支持力FNA为零，此后，物体A将会相对B滑动。显而易见，本题的临界条件是水平力F为某一值时，恰好使A沿A与B的接触面向上滑动，即物体A对地面的压力恰好为零，受力分析如图6。 对整体有：； 隔离A，有：，，。 解得： 所以F的范围是0≤F≤ 例4 如图所示，光滑小球恰好放在木块的圆弧槽中，它左边的接触点为A，槽的半径为R，且OA与水平线成α角，通过实验知道，当木块的加速度过大时，小球可以从槽中滚出来，圆球的质量为m，木块的质量为M，各种摩擦及绳和滑轮的质量不计，则木块向右的加速度最小为多大时，小球恰好能滚出圆弧槽。 解析：当木块加速度a=0时，小球受重力和支持力，支持力的作用点在最低处。当木块加速度逐渐增大，支持力的作用点移到A点时，小球将滚出圆弧槽，此状态为临界状态，小球受力如图2所示，由牛顿第二定律有，得，当木块向右的加速度至少为时小球能滚出圆弧槽。 点拨：当圆弧槽静止时，小球受到支持力的作用点在最低处，当圆弧槽的加速度逐渐增大时，支持力的作用点逐渐向A点靠近，当支持力的作用点在A处时，圆弧槽的加速度最大，圆弧槽加速度再增大，小球会从圆弧槽内滚出来。确定临界点，是求解此题的关键。 3、数学方法 将物理过程转化为数学表达式，然后根据数学中求极值的方法求出临界条件。 例5 如图9所示，质量为的木块与水平地面的动摩擦因数，木块用轻绳绕过光滑的定滑轮，轻绳另一端施一大小为20N的恒力F，使木块沿地面向右做直线运动，定滑轮离地面的高度，木块M可视为质点，问木块从较远处向右运动到离定滑轮多远时加速度最大？最大加速度为多少？ 解析：设当轻绳与水平方向成角θ时，对M有 整理得 令，可知，当A取最大值时a最大。利用三角函数知识有： ，其中，而，与此相对应的角为 所以加速度的最大值为： 此时木块离定滑轮的水平距离为： 说明：此题并非在任何条件下都能达到上述最大